Вывод формулы длины астроиды приведен во вложении.
В задании радиус окружности задан как a.
Если принять начало дуги при t1 = 0, то L = (3/2)a*sin²t.
Длина дуги от 0 до (π/2) равна:
L = (3/2)*a*sin²π/2) = (3/2)*a*1² = 3a/2.
Четвёртая часть её равна 3a/8.
Приравняем 3a/8 = (3/2)a*sin²t.
После сокращения и приведения к общему знаменателю получаем:
1 = 4a*sin²t, отсюда sin²t = 1/4.
После извлечения корня оставляем положительное значение для 1 четверти: sint = 1/2.
Получаем угол для точки М: t = arc sin(1/2) = π/6.
Теперь находим ответ:
x(M) = a*cos³(π/6) = a(√3/2)³ = a*3√3/8.
y(M) = a*sin³(π/6) = a(1/2)³ = a/8.
ответ: 8 .
Пошаговое объяснение:
Складемо сист . рівнянь : { a₁b₁ = 18 ,
{ a₁b₂ = 12 ,
{ a₂b₁ =12 ; де a₁ і b₁ , a₁ і b₂ , a₂ i b₁ - виміри
віповідно І , ІІ і ІІІ прямокутників , а a₂ і b₂ - ІV прямокутника , площу
якого треба знайти .
{ a₁ = 18/b₁ ,
{ (18/b₁ )*b₂ =12 ,
{ b₁ = 12/a₂ ;
{ a₁ = 18/b₁ ,
{ b₂ = 12b₁/18 ,
{ b₁ = 12/a₂ ;
{ a₁ = 18/b₁ ,
{ b₂ = 12/18 * 12/a₂ , звідси b₂ = 12/18 * 12/a₂ ; a₂b₂= 12²/18 = 8 .
{ b₁ = 12/a₂ ;
