ДАНО
Y = x⁴ - 2*x²
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
Вертикальной асимптоты нет.
2. Пересечение с осью Х. Y=x²*(x-√2)*(x+√2).
Корни:х₁ = 0, х₂ = -√2, х₃ = √2
Интервалы знакопостоянства:
Положительная - X∈(-∞;-√2)∪(√3;+), отрицательная - X∈(-√2;√2).
3. Пересечение с осью У. У(0) = 0.
4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = +∞ limY(+∞) = +∞
Горизонтальной асимптоты нет.
5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x).
Функция чётная.
6. Производная функции.Y'(x)= 4*x³ -4x = x*(x-1)*(х+1) = 0.
Корни: x₁= 0, x₂ = - 1, x₃ = 1
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(0)= 0, минимум – Ymin(-1)= Y(min(1) = -1.
8. Интервалы монотонности.
Возрастает - Х∈[-1;0]∪[1;+∞), убывает = Х∈(-∞;-1]∪[0;1].
8. Вторая производная - Y"(x) =12*x² -4=0. x= +/-√(1/3)
Корни производной - точки перегиба - х₁ =-√3/3, х₂ = √3/3 ≈ 0.58.
9. Выпуклая “горка» Х∈[-√3/3; √3/3],
Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-√3/3]∪[√3/3;+∞).
10. Наклонной асимптоты - .
lim(+∞)Y(x)/x = x³ - 2*x = +∞ - нет
10. График в приложении.
.
