3
Пошаговое объяснение:
S=1/2+3/2²+5/2³+...+(2n - 3)/2ⁿ⁻¹+(2n - 1)/2ⁿ
2S=2(1/2+3/2²+5/2³+...+(2n - 1)/2ⁿ)=1+3/2+5/2²+...+(2n - 3)/2ⁿ⁻²+(2n - 1)/2ⁿ⁻¹
2S-S=(1+3/2+5/2²+...+(2n - 3)/2ⁿ⁻²+(2n - 1)/2ⁿ⁻¹)-(1/2+3/2²+5/2³+...+(2n - 3)/2ⁿ⁻¹+(2n - 1)/2ⁿ)
S=1+(3/2-1/2)+(5/2²-3/2²)+...+((2n - 1)/2ⁿ⁻¹-(2n - 3)/2ⁿ⁻¹)-(2n - 1)/2ⁿ=
=1+1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+...+1/2ⁿ⁻²-(2n - 1)/2ⁿ=
=1-(2n - 1)/2ⁿ+ (1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+...+1/2ⁿ⁻²)=1-(2n - 1)/2ⁿ+1·(1-(1/2)ⁿ⁻¹)/(1-1/2)=
=1-(2n - 1)/2ⁿ+2(1-1/2ⁿ⁻¹)=1-2n/2ⁿ+1/2ⁿ+2-1/2ⁿ⁻²=3-2n/2ⁿ-3/2ⁿ=3-(2n+3)/2ⁿ
Если последовательность бесконечная, то
S=1/2+3/2²+5/2³+...+(2n - 3)/2ⁿ⁻¹+(2n - 1)/2ⁿ+...=lim(n-->∞)[3-(2n+3)/2ⁿ]=3
Вычислим предел lim(n-->∞)[3-(2n+3)/2ⁿ]
lim(n-->∞)[3]-lim(n-->∞)[(2n+3)/2ⁿ]=3-lim(n-->∞)[(2n+3)/2ⁿ]
lim(n-->∞)[(2n+3)/2ⁿ] числитель и знаменатель дроби стремятся к ∞
Применим правило Лопиталя
Производная числителя 2
Производная знаменателя 2ⁿln2
lim(n-->∞)[(2n+3)/2ⁿ]=lim(n-->∞)[(2/(2ⁿln2)]=0
P.S.
Данным можно вычислить любую конечную последовательность вида:
S=a(1)·b(1)+a(2)·b(2)+a(3)·b(3)+...+a(n)·b(n)
Где числа a(1);a(2);a(3);..;a(n)-последовательные члены арифметической, а числа b(1);b(2);b(3);..;b(n)-геометрической прогрессии
