1) f(x) = x +4/x, [1; 5]
2)f(x)=x^2-8/x, [0.5;2]
найти наибольшее и наименьшее значение функции

​

Находим производную функции f(x)=2x²-x⁴+1.
y ' = -4x³ + 4x = -4x(x² - 1).
Приравниваем производную нулю:
 -4x(x² - 1) = 0.
Отсюда получаем критические точки:
х₁ = 0,
x² - 1 = 0
x² = 1.
х₂ = 1,
х₃ = -1.
На проміжку [-2;0] имеется 2 критические точки:
х = -1 и х = 0.
Исследуем значение производной вблизи этих точек.
х =                -1.5    -1     -0.5    0        0.5
y '=-4x³+4x     7.5     0     -1.5     0       1.5.
В точке х = -1 переход от + к -, значит, это максимум,
а в точке х = 0 переход от - к +, значит, это минимум.

Во первых рассмотрим функцию:


Что бы получить нужную нам функцию, нужно ее растянуть вдоль оси y в два раза.


При этом, свойства у нее почти одинаковы со свойствами  . Отличается лишь область значений.

У  область значений следующая:

То есть:

Умножаем на два, и получаем область значений  :

Т.е.:


Остальные свойства те же :
- область определения 
- период функции (все тригонометрические функции периодичны) .

Функция чётна, так как выполняется:

- тождество.

Нули функции:

 
Так как  достигает экстремумы на концах отрезка области значения, то и  достигает экстремумы на концах отрезка:


Решаем :
- максимумы.
- минимумы.

Положительные значения на интервале  и на интервалах, получаемые сдвигом  этого интервала на

Отрицательные значения на интервале  и на интервалах, получаемые сдвигом  этого интервала на  

Функция возрастает на отрезке:
 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 
 
Функция убывает на отрезке:
 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на