Начальная дробь x/y.
Если к числителю и знаменателю прибавить 12, то дробь увеличится в 3 раза.
(x + 12) / (y + 12) = 3x/y
По свойствам пропорции
y(x + 12) = 3x(y + 12)
xy + 12y = 3xy + 36x
12y = 2xy + 36x
6y - xy = 18x
y(6 - x) = 18x
y = 18x / (6 - x)
Чтобы y было натуральным числом, знаменатель (6 - x) должен быть положительным, и числитель 18x должен делиться на него. Варианты:
1) x = 5; 6 - x = 1; y = 18*5/1 = 90.
Но тогда дробь x/y = 5/90 сократима. Не подходит.
2) x = 4; 6 - x = 2; y = 18*4/2 = 36.
Но дробь x/y = 4/36 опять сократима. Не подходит.
3) x = 3; 6 - x = 3; y = 18*3/3 = 18.
Дробь x/y = 3/18 опять сократима. Не подходит.
4) x = 2; 6 - x = 4; y = 18*2/4 = 9
Дробь x/y = 2/9 подходит.
Проверим. (x+12) / (y+12) = 14/21 = 2/3 = 3*2/9. Все правильно.
5) x = 1; 6 - x = 5; y = 18*1/5 = 18/5 = 3,6
Дробь x/y = 1/3,6 = 5/18
Проверим. (x+12) / (y+12) = 13/15,6 = 1/1,2 = 5/6. Все правильно.
Сумма обратных дробей:
9/2 + 18/5 = 4,5 + 3,6 = 8,1.
Но, скорее всего, числа x и y должны быть натуральными, поэтому 5) не подходит.
Тогда решение только 4), а
ответ: 9/2 = 4,5
Обозначим начальную дробь a/b.
Условие: (a+12)/(b+12) = 3a/b
b(a+12) = 3a(b+12)
ab + 12b = 3ab + 36a
2ab + 36a = 12b
ab + 18a = 6b
a(b + 18) = 6b
a = 2*3b/(b+18)
Рассмотрим разные варианты:
1) a = 2, тогда 3b = b+18, отсюда b = 9
Дробь a/b = 2/9, (a+12)/(b+12) = 14/21 = 2/3 = 3*2/9
2) a = 3, тогда 2b = b+18, отсюда b = 18
Дробь a/b = 3/18 = 1/6, (a+12)/(b+12) = 15/30 = 1/2 = 3*1/6
3) a = 6, тогда b = b+18, решений нет.
4) a = b, тогда 6 = b+18, отсюда b = a = -12
Дробь a/b = -12/(-12) = 1, (a+12)/(b+12) = 0/0 - решений нет.
Сумма дробей, обратных к решениям:
S = 9/2 + 1/(1/6) = 4,5 + 6 = 10,5
