Даны координаты вершин треугольника: А(-1; 0), В(3; 2), С(5; -2).
Составить:
1) уравнения его сторон.
Находим векторы.
АВ = (3-(-1); 2-0) = (4; 2),
ВС = (5-3; -2-2) = (2; -4),
АС = (5-(-1); -2-0) = (6; -2).
Получаем канонические уравнения сторон.
АВ: (x + 1)/4 = y/2,
BC: (x – 3)/2 = (y – 2)/(-4),
AC: (x + 1)/6 =y/(-2).
Их можно представить в общем виде.
АВ: x – 2y + 1 = 0,
BC: 2x + y – 8 = 0,
AC: x + 3y + 1 = 0.
2) уравнение высоты, опущенной из вершины А.
Это перпендикуляр к стороне ВС. У него коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются по сравнению с ВС на –В и А.
Получаем –x + 2y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: -1*(-1) + 2*0 + С = 0, отсюда С = -1 - 0 = -1.
ответ: -x + 2y – 1 = 0.
3) уравнение средней линии, параллельной стороне АС.
Находим точку М – середину стороны АВ.
М = (А(-1; 0), В(3; 2))/2 = (1; 1).
Направляющий вектор средней линии равен вектору АС(6; -2).
Получаем уравнение MN:
(x – 1)/6 = (y – 1)/(-2).
Найти:
4) внутренний угол треугольника при вершине В.
Находим векторы ВА и ВС.
ВА = -АВ = (-4; -2), модуль равен √(16 + 4) = √20 = 2√5.
ВС = (2; -4), модуль равен √(4 + 16) = √20 = 2√5.
cos B = (-4*2 + (-2)*(-4)/( 2√5*2√5) = (-8 + 8)/20 = 0.
Угол В = arccos 0 = 90 градусов.
5) расстояние от точки С до противолежащей стороны.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|
√(A² + B²)
Подставим в формулу данные: АВ: x – 2y + 1 = 0, С(5; -2).
d = |1·5 + (-2)·(-2) + 1| |5 + 4 + 1|
√(1² + (-2)²) = √(1 + 4) =
= 10/√5 = 2√5 ≈ 4.4721.
