Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.
У каждого мудреца по 46 монет
Пошаговое объяснение:
Исходное положение:1 мудрец — 1 монета; 2 мудрец — 2 монеты; ...; 10 мудрец — 10 монет.1). Очевидно, что в течение какого-то количества минут первый мудрец получит а монет, второй: а — 1 монету, третий: а — 2 монеты, ..., десятый получит а — 9 монет.Тогда у первого станет: а+1 монета, у второго: (а+2)-1 = а+1 монета, у третьего: (а+3)-2 = а+1 монета и т.д. до 10-го мудреца, у которого станет: (а+10)-9 = а+1. Таким образом, в сумме получим: 10*(а+1)Но, так как мудрецов 10, и, в итоге, у каждого одинаковое количество монет, то всю эту сумму можно представить, как 10b.Получили первое уравнение: , где а — количество минут, которое мудрецам выдавали по 9 монет, b — конечное равное количество монет у каждого мудреца.2). Известно, что в исходном положении мудрецам было выдано: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 монет В течение некоторого количества минут а, они получили еще 9а монет, что составило в сумме: 55 + 9а монет. Так как окончательное количество монет должно быть кратно 10, то второе уравнение: Решая систему, получим: 10а + 10 = 55 + 9a 10a — 9a = 55 — 10 a = 45 (мин.) b = 46 (монет)ответ: да, смогут через 45 минут. У каждого мудреца на руках окажется по 46 монет.
