1. Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².
S₁ = πr₁² = 25π ⇒ r₁ = 5
S₂ = πr₂² = 144π ⇒ r₂ = 12
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.
Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:
R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25
R² = x² + r₂² = x² + 144
(17 - x)² + 25 = x² + 144
289 - 34x + x² + 25 = x² + 144
34x = 170
x = 5
R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13
Sпов. шара = 4πR² = 4 · π · 169 = 676π
2. Так как вершины квадрата лежат на сфере, то квадрат вписан в сечение сферы, в окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей квадрата.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. Тогда SD - проекция наклонной OD на плоскость АВС, значит ∠SDO = 60° - угол между радиусом и плоскостью АВС.
OS - искомое расстояние.
BD = 12√2 как диагональ квадрата,
SD = 6√2.
Из прямоугольного треугольника SOD:
tg 60° = SO / SD
SO = SD · tg 60° = 6√2 · √3 = 6√6
3. Так как стороны треугольника касаются шара, то круг - сечение шара - вписан в треугольник.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
OS = √2 - расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Полупериметр треугольника АВС:
p = (8 + 10 + 12)/2 = 15
По формуле Герона:
Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))
Sabc = √(15 · 7 · 5 · 3) = √(5 · 3 · 7 · 5 · 3) = 15√7
Sabc = p·r, где r = SK - радиус вписанной окружности.
p · SK = 15√7
SK = 15√7 / 15 = √7
Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора:
ОК = √(SK² + OS²) = √(7 + 2) = √9 = 3
R = 3
4. Ядро - шар. Если его переплавили в конус, значит объем шара и конуса одинаков.
Пусть R = 1 - радиус шара, r - радиус конуса.
Vшара = 4/3 π R³ = 4/3π
Vконуса = 1/3 πr² · h = 4/3π, отсюда
r² · h = 4
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, по теореме Пифагора:
r² + h² = 6
Получили систему уравнений:
r² · h = 4
r² + h² = 6
r² = 6 - h²
(6 - h²) · h = 4 (2)
Решим второе:
6h - h³ = 4
h³ - 6h + 4 = 0
(h - 2)(h² + 2h - 2) = 0
h = 2
или
h² + 2h - 2 = 0
D/4 = 1 + 2 = 3
h = - 1 - √3 - не подходит по смыслу задачи, или
h = - 1 + √3 - не подходит по условию, так как высота не меньше 1.
ответ: h = 2
ответ:
пошаговое объяснение:
дано:
авсд - трапеция
ав=12см
сд=13см
угол авс=уголсад(биссектриса делит пополам)
найти:
sавсд
решение :
проведем вн_i_ад всдн- прямоугольник сд=вн=12 см вс=дн.
из треугольника авн ан=корень 169-144=5 см.
треугольник авс. угол сад=вса - как внутренний накрест лежащий при вс//ад. углы при основании равны равны и боковые стороны ав=вс=13.
ад=ан+нд=13+5=18 см.
s=½h(a+b)
sabcd=12/2(13+18)=6*31=234 см ^2
или
пусть трапеции abcd, где прямой угол - а.. проведём высоту из т. с. назовём её со. бис-са выходит из угла d. тогда
1)угол dbc=bda, тк являбтся накрест лежащимт при прямых bc и ad и секущей bd. тогда получается, что треуг bd равнобедренный.
2) в ранобедренном трег боковые стороны равны. bc=cd=13см.
3) рассмотрим прямоуг. abco. в прямоуг противолежсщие стороны равны. ab=co=12, bc=ao=13.
4) рассмотрим треуг cod. по теореме пифагора оd^2= 169-144=25. значит od=5см.
5) ad=13+5=18см
s=½h(a+b)
6)sabcd=12/2(13+18)=6*31=234 см ^2
