В шесть утра определено температуру на десяти метеостанциях. Получили такие данные: на 2 метеостанциях по 1 градуса, на 3 метеостанциях по 3 градуса, на х метеостанциях по 4 градуса, на 8 метеостанциях по 1 градуса. Определите число х, если среднее арифметическое всех этих данных равна 3,5 градусов. *

Если разложить билеты с первого до последнего и складывать числа номеров первый+последний, второй+ предпоследний, третий + предпредпоследний и так далее, то получим, что 
а) для четного числа мест
В сумме это всегда число последнего номера+1, а таких пар в два раза меньше, чем количество номеров мест
То есть, если х - это количество мест, то количество пар х/2, а сумма в каждой паре х+1.
Значит сумма всех чисел в номерах 
(х+1)•(х/2)=(х^2+х)/2
б) для нечетного числа мест
Пар получается х-1, в которых сумма чисел равна х, и остается непарное последнее число х.
Значит сумма чисел получается 
[(х-1)/2]•х+х=(х^2+х)/2
То есть в обоих случаях одинаковая сумма
Найдем примерное число номеров
(х^2+х)/2=857
х^2+х=1714
х^2+х-1714=0
Уравнение имеет два корня: примерно 40 и примерно -42 (этот корень нам не подходит, так как не может быть отрицательного количества мест)
Если количество мест 40, то сумма всех чисел в номерах мест:
(40^2 + 40)/2=(1600+40)/2=1640/2=820
Тогда можно найти, на какое место был продан лишний билет:
857-820=37

Если количество мест 41, то сумма всех чисел в номерах мест:
(41^2 + 41)/2=(1681+41)/2=1722/2=861
861>857, поэтому этот вариант нам не подходит

Если количество мест 39, то сумма всех чисел в номерах мест:
(39^2 + 39)/2=(1521+39/2=1560/2=780
Тогда можно найти, на какое место был продан лишний билет:
857-780=77, этот вариант не подходит, потому что для 39 мест не может быть места с номером 77
Итак, ответ: лишний билет был продан на 37 место 

864 : 2 = 432                                         875 : 5 = 175
432 : 2 = 216                                         175 : 5 = 35
216 : 2 = 108                                          35 : 5 = 7
108 : 2 = 54                                            7 : 7 = 1
54 : 2 = 27                                              875 = 5 * 5 * 5 * 7
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3 
3 : 3 = 1
864 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3

НОД (864 и 875) = 1 - наибольший общий делитель
Числа 864 и 875 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.