Найдите координаты середин сторон треугольника ABC, если A(2; 0; 2), В2;2;0).
C(2:2:2).​

 Имеем  несколько рядов  полностью с  плитками  и  последний  неполный ряд.  Чтобы  в последнем  ряду с  7  плитками плиток  было  больше на 5,  нужно,  чтобы ряд имел 6 плиток ,  а  в последнем  ряду  с  8  плитками была 1 плитка.  В нашем случае  6 - 1 = 5
        Пишем  уравнение  для   рядов с   7  плитками   (7*а +6),  где  а - количество полных  рядов,   6  - это плитки в последнем ряду.
        Пишем  уравнение  для   рядов с   8  плитками   (8*а +1),  где  а - количество полных  рядов,   1  - это плитка в последнем ряду.
Плиток одинаковое число в  обоих  случаях, поэтому выравниваем
7*а +6 = 8*а +1 ,  решаем
а = 5   -  подставляем  в  уравнения для  рядов  и  находим количество плиток.
7*а +6 = 7*5+6 = 41  плитка
8*а +1 = 8*5 +1 = 41 плитка
ответ:  после строительства дома осталась 41 плитка.

Предположим, что существует такой многоугольник, но длина любой его стороны в точности 1.

Рассмотрим такой многоугольник. Будем его расклеивать до тех пор, пока не получим 300 квадратов. Посчитаем общее количество расклеиваний: для этого опишем вокруг границы многоугольника "пояс". С одной стороны для расклеивания потребуется отклеить 300*4 сторон (у каждого квадрата 4 стороны), но так мы посчитаем каждое отклеивание дважды (для квадратов с общей стороной), то есть общее количество отклеиваний равно 300*4/2=600. Но отклеиваний без "пояса" меньше (так как граничные отрезки не участвуют в расклейке) - ровно на половину от суммарного количества граничных клеток - то есть на половину периметра. Итак, общее количество расклеек 600-150=450.

Значит, столько же и склеек. Теперь впишем наш многоугольник в прямоугольник (так, чтоб он был полностью в нем и каждой стороны прямоугольника касалась хотя бы одна клетка многоугольника). Будем конструировать многоугольник заново. Докажем, что количество вертикальных склеек четно по индукции. База: Рассмотрим первый столбец. Будем считать количество вертикальных склеек. В первом их нет (иначе бы было две подряд идущих клетки). Во втором столбце - на каждую клетку из первого должна приходиться клетка из второго, да еще клетки между ними - итого 2k+1 клетка, где k - кол-во клеток из первого столбца. Значит вертикальных склеек 2k+1-1=2k - четное число. База доказана. Переход: пусть в некотором столбце четное количество склеек. Тогда в каждой группе из подряд идущих клеток нечетное количество клеток. Тогда каждой такой группе сопоставляется группа из нечетного количества клеток из соседнего столбца (иначе было бы не менее 2 подряд идущих клеток), значит, в каждой такой группе четное количество склеек. Переход доказан.

Теперь докажем, что количество вертикальных и горизонтальных склеек совпадает. Пусть вертикальных В, а горизонтальных Г.

Рассмотрим склейки в столбцах.

Заметим, что на каждую вертикальную склейку требуется не менее одной горизонтальной, поэтому Г≥В. Повернем многоугольник на 90 градусов. Аналогично получим В≥Г, значит, В=Г.

Значит, всего склеек 2В, но В - четное число, значит, общее количество делится на 4, но общее кол-во равно 450, противоречие.