Пусть (a, a+b) = k ≠ 1. Тогда a=k*s, a+b=k*l; l,s∈N, l>s. => b=k*l-a=k*(l-s) =>
(a, b)=(k*s, k*(l-s))=k*(s, l-s)≥k. Но тогда k≤1 - противоречие. А значит (a, a+b) = 1 (1)
Т.к. a и a+b взаимно просты, то для любого натурального x (x, a(a+b))=(x, a)*(x, a+b). И правда: если x имеет общие множители с a(a+b), то множество этих делителей, общих с a, и множество этих делителей, общих с a+b, не пересекаются кроме как в 1 (иначе они не взаимно просты). А значит максимумы этих подмножеств также взаимно просты, и их произведение, очевидно, максимально возможное среди произведений двух элементов этих разных множеств . А значит произведение этих максимумов - искомый наибольший делитель.
Тогда (2a + b, a(a + b)) = (2a + b, a) * (2a + b, (a + b)) = (a + (a + b), a) * (a + (a + b), (a + b)) = (*)
Аналогично доказанному ранее в пункте (1) имеем (a + (a + b), a) = (a + (a + b), (a + b)) = 1
(*) = 1*1=1
Ч.т.д.
Попытаемся записать в общем виде двузначные числители и знаменатели и попытаться сократить их.
Да. оговорюсь. что касаемо нулей. это дроби вида 10/10; ...50/10; 90/10; т.е. их посчитать легко. Вася вычеркивает нули, в таких дробях, их всего девять.
разберем теперь числа вида ав/св, ав запишем как (10а+в), вс=(10в+с);
ва/вс; (10в+а)с=(10в+с)а, откуда 10вс+ас=10ва+са, вс=ва, в-цифра десятков, она не нуль. поэтому с=а, значит, это числа вида 11/11; 22/22; 99/99. их тоже девять.
если теперь взять случай ав/св; (10а+в)*с=(10с+в)*а; получим а=с, но этот случай уже разобран выше.
возьмем теперь ва/св; (10в+а)*с=(10с+в)*а; 10вс+ас=10ас+ав; 10вс+ас=10ас+ав; 10вс-ав=9ас; в(10с-а)=9ас; здесь либо в кратно 9, но это только 9, либо 10с-а кратно 9, если в=9, то 10с-а=9ас; с(10-а)=а, если а=1, то с=1/9, с -натуральная цифра, поэтому не подходит. можно перебрать все случаи, т.е. если а=2, 4 не подходит. если а=5, то с=1; получаем 95/19; а=6,7 не подходит, а=8, тогда с=4, получаем 98/49, если а=9, то с=9, получаем 99/99, это было раньше рассмотрено.
Если же скобка 10с-а кратна 9, то это возможно при с=1, а=1, тогда в=1, 11/11 было , ... долог путь, наверное, надо взять или правильные, или неправильные дроби, среди них найти нужные, а потом перевернуть, чтобы меньше рассуждений было. Найдем, например, только правильные дроби для этого случая. итак. если (10в+а)*с=(10с+в)*а, то 10вс+ас=10ас+ав, тогда -ав=9ас-10вс; справа заберем вс в левую часть и вынесем девятку за скобку. вс-ав=9ас-9вс; вс-ав=9с(а-в);
в(с -а)=9с*(а-в); Т.к. с-a>0, то а-в>0, а-в ≥1, умножим обе части на 9с*(а-в)≥ 9с*1, а это в свою очередь больше 9(с-а)≥в(с-а) Усилим неравенство, 9с(а-в)> в(с-а) но это неверно. значит, среди правильных дробей нет таких. которые мы ищем.
и последний случай ав/вс, тогда (10a + b)c = (10b + c)a, 10ас+вс=10ав+ас; вс=9ав+ав+ас-10ас; вс-ав=9ав-9ас; в(с-а)=9а(в-с)
обе части положительны, с-а>0, в-с>0 , получается, что с>а, в>с. с-а не может быть равно 9, но левая часть делится на 9, тогда в делится на три, это могут быть 3, 6, или 9. Если в=3, то 3-с=1, с=2, тогда а =1
Получаем 13/32, нет одинаковых, нечего Васе вычеркивать.
Если в=6, то с-а=3, а =1, с=4, или а=2, тогда с=5. Получили числа или 16/64, 26/65 . Два числа и им обратные. Всего четыре.
Если в=9, то 9*(с-а)=9*а(9-с), (с-а)/а=9-с; (с/а)+с=10; перебирая а, выходим на с, если а=1, то 2с=10, с=5; если а=2, с получаем дробное с. из оставшихся цифр подходит только а=4 , тогда 5с=40; с=8, Еще две дроби 19/95; 49/98. Всего вместе с обратными неправильными дробями четыре.
Теперь посчитаем все, что получилось. 9+9+4+4=26.
