Есть равнобедренный треугольник с вписаной окружностью - вопрос №1958489 от dgrigoref 27.03.2022 15:25

Question

Математика: Есть равнобедренный треугольник с вписаной окружностью центр которой делит высоту проведенную к основанию на отрезки 5 см и 3 см. найти стороны.

dgrigoref · Answer

Обозначим точки касания окружности с боковыми сторонами как K и L
BH-высота , она же и медиана так как треугольник по условию равнобедренный , следовательно AC=2AH
Так как BK,BL касательные проведенные с одной вершины В то они равны !
По теореме о секущей $BK=\sqrt{BF*BH}=\sqrt{(5-3)*8}=4\\
BL=4$
так как OH радиус, то OK тоже радиус, в прямоугольном треугольнике BKO, найдем угол OBK, по теореме косинусов
$3^2=4^2+5^2-2*4*5*cosKBO\\
cosKBO=\frac{4}{5}\\
$
теперь обозначим AK=LC=x , так как они боковые стороны равны !
то угол ABC=2 ABH

, то
$ABH=a\\
cosa=\frac{4}{5}\\
a=arccos\frac{4}{5}\\
cos(2arccos\frac{4}{5})=2cos^2(arccos\frac{4}{5})-1=\frac{32}{25}-1= \frac{7}{25}\\
$

Теперь воспользуемся тем что AC=2AH
$AH=\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}\\
AC=\sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\
2*\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}= \sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\
x=6$

Отудого AK=6, то AH=6
и того AC=12 , AB=BC=10