определить, сколько раз нужно взять слагаемым меньшее число 2, чтобы получить большее число 6, значит определить, сколько раз число 2 содержится в 6, или сколько раз число 6 содержит 2.
число 2 содержится в 6 три раза, ибо, чтобы получить 6, нужно взять сумму трех равных слагаемых:
6 = 2 + 2 + 2
найти, сколько раз число 2 содержится в 6, значит разделить 6 на 2.
определение. деление есть такое действие, в котором по двум данным числам определяют, сколько раз одно число содержится в другом.
данные числа в делении называются делимым и делителем, искомое называется частным.
делимое есть то число, которое содержит другое.
делитель есть то число, которое содержится в другом.
частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом.
в данном примере делимое есть 6, делитель 2, частное 3.
разделить 6 на 2 значит также разбить 6 на 2 равных слагаемых и отыскать их величину. число 6 представится при двух равных слагаемых в виде:
6 = 3 + 3
каждое из равных слагаемых называется частью делимого.
посредством деления целых чисел также узнается, как велико каждое слагаемое, если делимое разобьется на столько равных слагаемых, сколько в делителе единиц.
в этом случае делимое есть то число, которое делится или разбивается на равные части. делитель показывает, на сколько равных частей делится делимое. частное показывает, сколько приходится на каждую часть.
способы деления
имея два числа 12 и 4, мы можем разделить 12 на 4 различными способами.
с сложения мы можем определить, сколько раз нужно взять 4 слагаемым для того, чтобы получить в сумме 12. так, взяв 4 слагаемым 3 раза, находим в сумме:
4 + 4 + 4 = 12,
следовательно, 4 содержится в 12 три раза.
с вычитания определяем, сколько раз можно из большего числа 12 вычесть меньшее 4. при этом мы вычитаем делитель до тех пор, пока это возможно. так, вычитая последовательно из 12 по 4, имеем:
12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0
отсюда находим, что можно вычесть 4 из 12 ровно три раза.
деление есть сокращенное вычитание равных вычитаемых.
наконец, посредством умножения, мы можем определить, на какое число нужно помножить 4, чтобы получить 12. умножая последовательно 4 на 1, 2, 3, находим, что для того, чтобы получить 12, нужно 4 помножить на 3.
различные случаи при делении
при делении целых чисел бывают два случая:
разделяя 12 на 4, мы находим в частном 3. делитель 4 содержится ровно 3 раза в делимом 12. вычитая последовательно из 12 по 4, мы могли вычесть число 4 ровно три раза и не получили никакого остатка. в этом случае говорят, что деление совершилось нацело или без остатка. умножив частное 3 на делитель 4, получаем делимое 12.
разделяя 26 на 8, мы при последовательном вычитании получаем:
26 - 8 = 18
18 - 8 = 10
10 - 8 = 2
далее нельзя продолжать вычитания, потому что из 2 нельзя вычесть делитель 8. число 2 называют остатком.
остаток всегда меньше делителя. в этом случае говорят, что деление не совершается нацело или деление совершается с остатком.
разделяя 26 на 8, мы могли вычесть делитель 8 три раза, и у нас получился остаток 2. число 3 мы будем называть целым частным. целое частное есть не полное частное, ибо оно не выражает вполне, сколько раз меньшее число содержится в большем. число 8 не содержится в 26 ровно 3 раза. в этом случае говорят: число 8 содержится в 26 три раза и еще получается остаток. умножив делитель 8 на целое частное 3, мы не получим делимого 26, а число 24 — меньшее делимого. чтобы получить делимое, нужно к этому произведению прибавить еще остаток 2.
целое частное иногда называют просто частным.
итак, при делении мы имеем два случая:
деление нацело или без остатка. когда делитель содержится в делимом ровное число раз, тогда деление совершается нацело или без остатка. частное выражает, сколько раз делитель содержится в делимом. делимое равно делителю, умноженному на частное. в этом случае деление есть действие в котором по данному произведению и одному из производителей находится другой производитель.
если дается произведение и множимое, отыскивают множитель, то есть число равных слагаемых; если дается произведение и множитель, отыскивают множимое, то есть величину равных слагаемых.
деление с остатком. когда делитель не содержится в делимом ровное число раз, тогда деление не совершается нацело, или деление совершается с остатком. остаток всегда меньше делителя и делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.
при делении целых чисел делимое всегда уменьшается во столько раз, сколько в делителе единиц, поэтому деление есть действие, обратное умножению.
знак деления
действие деления изображается знаком двоеточия ÷, который ставится между делимым и делителем.
деление числа 6 на 2 изображают письменно:
6 ÷ 2 = 3 частное.
действие деления обозначается также начертанием |–, где вертикальная черта отделяет делимое, а горизонтальная делитель от частного.
Российский математик, первый доказавший гипотезу француза Пуанкаре - головоломку, которая не поддавалась никому более 100 лет - любому трёхмерному предмету без отверстий путем различных действий, но без разрезаний и склеиваний, можно придать форму шара – трехмерной сферы. Подтвердив гипотезу предельно точными расчётами, превратил её в теорему.
АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (1903 —1987)
Советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей. Им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, в теориях: турбулентности, сложности алгоритмов, информации, меры, множеств, функций, тригонометрических рядов, дифференциальных уравнений и функциональном анализе.
СОФЬЯ КОВАЛЕВСКАЯ (1850 — 1891)
Первая в России женщина – профессор и первая в мире женщина-профессор математики. Открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Доказала существование аналитического решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными, одна из теорем называется теоремой Коши-Ковалевской.
ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (1646 — 1716)
Французский математик и физик. Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Посвятил ряд работ арифметическим рядам и биномиальным коэффициентам. Нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости чисел.
ИСААК НЬЮТОН (1642 — 1727)
Английский математик, физик и астроном. Основатель современного математического анализа дифференциального и интегрального исчисления, основанные на бесконечно малых. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623 — 1662)
Французский математик и физик. Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Посвятил ряд работ арифметическим рядам и биномиальным коэффициентам. Нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости чисел.
ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (1601 — 1665)
Французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма. Занимался исследованиями в области теории чисел, геометрии, алгебры, теории вероятностей. В теории чисел дал систематического нахождения всех делителей произвольного числа.
