Даны координаты точек: А(3;-1;5), В(7;1;1), С(4;-2;1) , М(5;1;0).
Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 3 y - (-1) z - 5
7 - 3 1 - (-1) 1 - 5
4 - 3 (-2) - (-1) 1 - 5 = 0
x - 3 y - (-1) z - 5
4 2 -4
1 -1 -4 = 0
(x - 3) (2·(-4)-(-4)·(-1)) - (y - (-1)) (4·(-4)-(-4)·1) + (z - 5) ( 4·(-1)-2·1) = 0
(-12) (x - 3) + 12 (y - (-1)) + (-6) (z - 5) = 0
- 12x + 12y - 6z + 78 = 0 или, сократив на (-6) получаем:
2x - 2y + z - 13 = 0.
2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М
перпендикулярно плоскости Q.
Нормальный вектор плоскости Q - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости: n = (2; -2; 1).
Получаем уравнение перпендикуляра к плоскости Q через точку М:
(x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1.
3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q,и с
координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.
Найденное уравнение перпендикуляра выразим в параметрическом виде: (x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1 = t.
Выражаем координаты переменных с параметра t.
x = 2t + 5, y = -2t + 1, z = t и подставим в уравнение плоскости.
2(2t + 5) - 2(-2t + 1) + t - 13 = 0,
4t + 10 + 4t - 2 + t - 13 = 0,
9t = 5.
t = 5/9 и получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости Q:
x = 2(5/9) + 5 = 55/9,
y = -2(5/9) + 1 = -1/9,
z = 5/9.
C плоскостью xOy при z = 0, (x -5)/2 = 0, x = 5, (у - 1)/(-2) = 0, у = 1.
C плоскостью xOz при у = 0, (x -5)/2 = 0, x = 5, z/1 = 0, z = 0.
С плоскостью yOz при x = 0, (y -1)/2 = 0, y = 1, z/1 = 0, z = 0.
