1) Сколькими можно купить 6 пирожных, если в столовой их 3 типа?
2) Сколькими можно купить 5 пирожных, если в столовой их 5 типов?
3) Сколькими можно рассадить 9 человек в 3 автомобиля при условии, что в каждом автомобиле не более 5 человек?
4) В ящике 24 деталей, в том числе 4 бракованных. Сколькими можно выбрать четыре детали? Сколькими можно выбрать четыре детали так, чтобы среди них было 2 бракованных?
5) В урне 5 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара. Наудачу извлекают 2 шара.
Найти вероятности того, что: а) оба шара красного цвета (событие А);
б) один из шаров красный, другой – зеленый (событие В);
в) оба шара одного цвета (событие С).
6) Карточки с буквами А, А, Б, Б, У, Ш, К, перемешивают и выкладывают случайным образом. Найти вероятность того, что получится слово «БАБУШКА»
7) Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x2+px+q=0 будут действительными числами, если коэффициенты p и q уравнения выбираются наудачу на отрезке [0;2] ?

1) Если в столовой только 3 типа пирожных, то каждое пирожное будет относиться к одному из этих трех типов. Поэтому, чтобы купить 6 пирожных, нужно учесть, что они должны быть разных типов. Если мы предположим, что все 6 пирожных одного типа, то сможем купить только 3 разных пирожных. Но если мы выберем по 2 пирожных каждого типа, то получим 6 разных пирожных. Значит, мы можем купить 6 пирожных, если в столовой 3 типа.

2) Если в столовой 5 типов пирожных, то чтобы купить 5 пирожных, нужно, чтобы каждое пирожное было разного типа. Так как типов пирожных столько же, сколько и пирожных, мы можем купить по одному пирожному каждого типа и тем самым купить 5 пирожных.

3) У нас есть 9 человек и мы хотим рассадить их в 3 автомобиля так, чтобы в каждом автомобиле было не более 5 человек. Так как каждый автомобиль может вместить не более 5 человек, то мы можем сделать следующее распределение: в каждом автомобиле будет по 3 человека, а оставшихся 3 человека разместим в любом из автомобилей. Таким образом, мы можем рассадить 9 человек в 3 автомобиля.

4) В ящике 24 детали, и нам нужно выбрать 4 детали. Нам нужно учесть две ситуации: выбрать 4 детали без ограничений и выбрать 4 детали так, чтобы среди них было 2 бракованных.

- Всего способов выбрать 4 детали без ограничений равно Сочетанию из 24 по 4, что обозначается как C(24, 4) и вычисляется по формуле: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где n - количество объектов, k - количество выбираемых объектов. В данном случае C(24, 4) = 24! / (4! * (24-4)!) = 10 626.

- Способы выбрать 4 детали так, чтобы среди них было 2 бракованных можно разделить на две ситуации: 1) 2 бракованные детали и 2 небракованные детали; 2) 3 бракованные детали и 1 небракованная деталь.

- Для первой ситуации мы можем выбрать 2 бракованные детали из 4 бракованных деталей (C(4, 2)) и 2 небракованные детали из 20 небракованных деталей (C(20, 2)). Общее количество способов выбрать 4 детали с 2 бракованными и 2 небракованными деталями равно C(4, 2) * C(20, 2) = 6 * 190 = 1 140.

- Для второй ситуации мы можем выбрать 3 бракованные детали из 4 бракованных деталей (C(4, 3)) и 1 небракованную деталь из 20 небракованных деталей (C(20, 1)). Общее количество способов выбрать 4 детали с 3 бракованными и 1 небракованной деталью равно C(4, 3) * C(20, 1) = 4 * 20 = 80.

Общее количество способов выбрать 4 детали так, чтобы среди них было 2 бракованных равно сумме способов из первой и второй ситуаций, то есть 1 140 + 80 = 1 220.

5) В урне находится 5 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара. Мы извлекаем наудачу 2 шара.

- Всего способов выбрать 2 шара из 11 (общее количество шаров в урне) равно Сочетанию из 11 по 2, то есть C(11, 2) = 11! / (2! * (11-2)!) = 11 * 10 / 2 = 55.

- Событие А: оба шара красного цвета. Мы можем выбрать 2 красных шара из 5 красных (C(5, 2)). Общая вероятность события А равна C(5, 2) / C(11, 2) = 10 / 55 = 2 / 11.

- Событие В: один шар красный, другой – зеленый. Мы можем выбрать 1 красный шар из 5 красных (C(5, 1)) и 1 зеленый шар из 3 зеленых (C(3, 1)). Общая вероятность события В равна C(5, 1) * C(3, 1) / C(11, 2) = 5 * 3 / 55 = 3 / 11.

- Событие С: оба шара одного цвета. Здесь есть две возможности: оба шара красные или оба шара зеленые.

- Для первой возможности мы можем выбрать 2 красных шара из 5 красных (C(5, 2)). Общая вероятность выбрать два красных шара равна C(5, 2) / C(11, 2) = 10 / 55 = 2 / 11.

- Для второй возможности мы можем выбрать 2 зеленых шара из 3 зеленых (C(3, 2)). Общая вероятность выбрать два зеленых шара равна C(3, 2) / C(11, 2) = 3 / 55.

Общая вероятность события С равна сумме вероятностей двух возможностей, то есть (2/11) + (3/55) = 13/55.

6) У нас есть 8 карточек с буквами А, А, Б, Б, У, Ш, К. Мы выкладываем их случайным образом. Нам нужно найти вероятность того, что получится слово "БАБУШКА".

- Всего способов выкладывания 8 карточек равно факториалу 8, то есть 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320.

- Чтобы получить слово "БАБУШКА", мы должны расположить буквы таким образом: Б, А, Б, У, Ш, К, А.

- Тогда вероятность того, что первая карточка будет Б равна 2/8, так как у нас есть 2 карточки с буквой Б из 8 карточек.
- Вероятность, что вторая карточка будет А, равна 2/7, так как после выбора первой карточки остается 7 карточек, включая 2 с буквой А.
- Вероятность, что третья карточка будет Б, равна 1/6, так как после выбора первых двух карточек остается 6 карточек, включая 1 с буквой Б.
- Вероятность, что четвертая карточка будет У, равна 1/5, так как после выбора первых трех карточек остается 5 карточек, включая 1 с буквой У.
- Вероятность, что пятая карточка будет Ш, равна 1/4, так как после выбора первых четырех карточек остается 4 карточки, включая 1 с буквой Ш.
- Вероятность, что шестая карточка будет К, равна 1/3, так как после выбора первых пяти карточек остается 3 карточки, включая 1 с буквой К.
- Вероятность, что седьмая карточка будет А, равна 1/2, так как после выбора первых шести карточек остается 2 карточки, включая 1 с буквой А.

Общая вероятность получить слово "БАБУШКА" равна произведению всех вероятностей выбора каждой карточки: (2/8) * (2/7) * (1/6) * (1/5) * (1/4) * (1/3) * (1/2) = 1/840.

7) Нам нужно найти вероятность того, что корни квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 будут действительными числами, если коэффициенты p и q уравнения выбираются наудачу на отрезке [0, 2].

Для того чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, дискриминант (D = p^2 - 4q) должен быть больше или равен нулю.

При этом, коэффициент p может принимать значения от 0 до 2, а коэффициент q также может принимать значения от 0 до 2.

- Если p = 0, то уравнение примет вид x^2 + q = 0. В этом случае дискриминант D = 0^2 - 4q = -4q. Чтобы дискриминант был больше или равен нулю, q должно быть меньше или равно нулю: 0 ≤ q ≤ 2. Таким образом, вероятность, что корни квадратного уравнения будут действительными при p = 0 равна 1, так как q всегда будет удовлетворять условию.

- Если p > 0, то 4q ≤ p^2, поэтому q ≤ (p^2)/4.

- При p = 1, вероятность того, что q ≤ 1/4 равна (1/4)/(2-0) = 1/8.
- При p = 2, вероятность того, что q ≤ 1 равна 1/(2-0) = 1/2.

Таким образом, общая вероятность того, что корни квадратного уравнения будут действительными числами, если коэффициенты p и q уравнения выбираются наудачу на отрезке [0;2], равна сумме вероятностей для каждого значения p, то есть 1 + 1/8 + 1/2 = 11/8.