Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Любые три его вершины образуют треугольник, всего таких треугольников 20. Квантик хочет отметить внутри шестиугольника как можно меньше точек, чтобы внутрь каждого из этих 20 треугольников попала хоть одна отмеченная точка. Приведите пример, как отметить точки, чтобы выполнялось это условие, и докажите, что меньше точек отметить нельзя.

Например: 3
                   8
1)
смотрим на знаменатель дроби ( в данном случае 8) , данная дробь меньше единицы,
2)
единичный отрезок делим на 8 равных частей
3)
смотрим на числитель, он равен 3, значит откладываем три равных деления, конец последнего деления и будет дробь 3/8
  0  1  2  3  4  5  6  7  8  1                

Например: 1 5/9
Чертим координатную прямую , отмечаем на  луча, единичный отрезок , что бы отложить данную дробь, надо: отложить целую часть (1), за целой частью откладываем ещё единичный отрезок и делим его на 9 равных частей,т.к. знаменатель содержит число 9, затем отсчитываем 5 равных частей - это и будет число : 1 5/9
                                     
  0                      1 | | | | × | | | |2            
                                    1 5/9  
                                                           

Вот тебе мой скромный ответ.
Петр, по праву получивший от потомков торжественное прозвание Великий, живейшим образом откликался на все новое, что происходило в мире. Существуй в его времена такие явления, как «инновации» и «нанотехнологии», государь непременно бы отдал соответствующие распоряжения о повсеместном насаждении в стране упомянутых диковин. Кажется, не было такого уголка России, которого Петр не желал бы до неузнаваемости изменить. К концу его правления мало осталось мест, избежавших Петровских преобразований.

Без Петра Великого не было бы ни Питера, этой его «гениальной ошибки», основанной на костях и болоте в 1703 г., ни славного русского флота, ни вооруженной до зубов армии, ни первого русского музея, ни первой русской газеты, ни много чего еще.Первого русского императора смело можно причислить к единицам избранных, которым удалось повернуть ход истории. Возможно, удалось это не в последнюю очередь потому, что ход русской истории к концу XVII в. и ходом-то назвать трудно. Преобразования, инициатором и главной движущей силой которых был Петр, вызывали и будут вызывать самые разные оценки. Даже для своих современников он был одновременно и земным богом, и антихристом, и «людомором».

Будущий Петр Великий родился в 1672 г. в многодетной семье второго русского царя из династии Романовых Алексея Михайловича, прозванного за рассудительность и умиротворенность «Тишайшим».Почти детсадовская инфантильность молодого государя не знала никаких границ. Не слишком вникая в государственные дела, он почти все время проводил в «забавах экзерциций военных», придав своим увеселениям поистине грандиозные масштабы. В ходе «игрушечных» битв молодого царя гибли десятки людей.

Возмужав, Петр, не отличавшийся миролюбием, направил свою энергию в еще более серьезное русло. Почти все его царствование в войнах: Азовские походы (1695-1696 гг.), Северная война (1700-1721 гг.), шедшие с переменным успехом войны с Турцией и Персией.

Успехи Петра Великого на внешнеполитическом поприще огромны. В ходе Северной войны, прямой наследницы войны Ливонской, Россия прорвалась наконец к морю. Этот важнейший геополитический шаг в массовом сознании людей закрепился в терминах плотницкого ремесла. Благодаря пресловутому «евроокну» Россия получила замечательную возможность прорубать дальнейшую дорогу своим экономическим, политическим, культурным и всем другим интересам в Европу и мир.

Длительное пребывание в Европе окончательно укрепило Петра в том, что в России все должно быть на европейский самый продвинутый манер. Насмотревшись на чудеса технического прогресса в милой его сердцу Голландии, Петр принялся рьяно насаждать их у себя на родине, без сожаления разрушая старый быт и уклад. Бритье бород – самое невинное из его нововведений. Ни одна европейская культура не претерпела такого крутого, жесткого тотального слома, какой претерпела русская культура в эпоху Петра. По существу, его реформы были попыткой переделать нацию, перестроить ее национальное сознание на протестантский манер. Но Россия не поддалась.
Однако многие из Петровских новшеств, особенно в области госуправления, экономики, транспорта были разумными и вполне прижились. За четверть века его активных реформ построено множество каналов (Вышневолоцкий, Мариинский и Тихвинский), объединивших в единое целое речную сеть страны, а также большое количество мануфактур и горных предприятий, освоены новые месторождения по добыче железной руды и цветных металлов, создана регулярная армия, написаны первые воинские уставы, реформировано местное управление.