1)Вычислить площадь поверхности образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у=1/3х^3, заключённой между прямыми х=-2 и х=2

2) вычислить обьем тела, образованной вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=4-х^2, х-у+2=0

3)Вычислить обьем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченными линиями у^2=9х, у=3х

1) Для вычисления площади поверхности образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой у=1/3х^3, заключенной между прямыми х=-2 и х=2, воспользуемся формулой площади поверхности вращения:

S = 2π ∫[a, b] y(x) √(1 + (y'(x))^2) dx

где a и b – x-координаты начала и конца дуги, y(x) – уравнение кривой, y'(x) – производная от уравнения кривой по x.

Для данной задачи, a = -2, b = 2, y(x) = 1/3x^3. Найдем производную y'(x):

y'(x) = d/dx (1/3x^3) = x^2

Подставим значения в формулу:

S = 2π ∫[-2, 2] (1/3x^3) √(1 + (x^2)^2) dx

Для интегрирования данной функции, воспользуемся методом интегрирования по частям:

∫ (1/3x^3) √(1 + (x^2)^2) dx = (∫ u dv) = u v - ∫ v du

где:
u = (1/3x^3)
dv = √(1 + (x^2)^2) dx

Найдем du и v:

du = d/dx (1/3x^3) dx = x^2 dx
v = ∫ √(1 + x^4) dx

Для интеграла v, воспользуемся заменой переменной. Пусть z = x^2, тогда dz = 2x dx:

v = ∫ √(1 + x^4) dx = (1/2) ∫ √(1 + z^2) dz

Теперь вычислим интеграл (1/2) ∫ √(1 + z^2) dz. Для этого воспользуемся формулой интегрирования для √(1 + x^2):

(1/2) ∫ √(1 + z^2) dz = (1/2) (1/2) [z √(1 + z^2) + ln(√(z) + √(1 + z^2) + C)]

где С - константа интегрирования.

Теперь, зная значения u, du, v и ∫ v du, можем вернуться к формуле площади поверхности:

S = 2π (u v - ∫ v du) = 2π [(1/3x^3)((1/2) [z √(1 + z^2) + ln(√(z) + √(1 + z^2)])] ∣[-2, 2]

Подставим значения -2 и 2 в формулу и вычислим значения интегралов и функций:

S = 2π [(1/3(2)^3)((1/2) [((2^2) √(1 + (2^2)) + ln(√(2^2) + √(1 + (2^2))]) - (1/3(-2)^3)((1/2) [((-2)^2) √(1 + ((-2)^2)) + ln(√((-2)^2) + √(1 + ((-2)^2))])]

S = 2π [(8/3)((1/2) [4√(1 + 4) + ln(√(4) + √(1 + 4))] - (8/3)((1/2) [4√(1 + 4) + ln(√(4) + √(1 + 4))]

Упростив данное выражение, получим окончательный ответ.

2) Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями у=4-х^2 и х-у+2=0, воспользуемся формулой объема тела вращения:

V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx - π ∫[a, b] (g(x))^2 dx

где a и b – x-координаты начала и конца фигуры, f(x) и g(x) – уравнения кривых.

Для данной задачи, a и b будут значениями x, при которых кривые y=4-x^2 и x-y+2=0 пересекаются. Найдем эти значения:

4-x^2 = x-4+2
x - x^2 + 6 = 0
x^2 - x + 6 = 0

Решая этот квадратный трехчлен, получим x ≈ -0,79 и x ≈ 1,79. Значит, a = -0,79, b = 1,79.

Теперь найдем значения f(x) и g(x):

f(x) = 4-x^2
g(x) = x - 2

Теперь, подставим значения в формулу объема:

V = π ∫[-0,79, 1,79] (4-x^2)^2 dx - π ∫[-0,79, 1,79] (x-2)^2 dx

Вычисляем интегралы:

V = π [∫ (16 - 8x^2 + x^4) dx - ∫ (x^2 - 4x + 4) dx]

V = π [16x - (8/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 2x^2 - 4x] ∣[-0,79, 1,79]

V = π [16(1,79) - (8/3)(1,79)^3 + (1/5)(1,79)^5 - (1/3)(1,79)^3 + 2(1,79)^2 - 4(1,79) - (16(-0,79) - (8/3)(-0,79)^3 + (1/5)(-0,79)^5 - (1/3)(-0,79)^3 + 2(-0,79)^2 - 4(-0,79))]

Упрощаем выражение, чтобы получить окончательный ответ.

3) Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y^2=9x и y=3x, воспользуемся формулой объема тела вращения:

V = π ∫[c, d] x(y)^2 dy

где c и d – y-координаты начала и конца фигуры, x(y) – уравнение кривой.

Для данной задачи, c и d будут значениями y, при которых кривые y^2=9x и y=3x пересекаются. Найдем эти значения:

9x = (3x)^2
9x = 9x^2
x - x^2 = 0
x(1 - x) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 1. Значит, c = 0, d = 1.

Теперь найдем значение x(y):

y^2 = 9x
x = y^2/9

Подставим значения в формулу объема:

V = π ∫[0, 1] (y^2/9)^2 dy

Вычисляем интеграл:

V = π (1/81) ∫ y^4 dy

V = (π/81) (1/5) y^5 ∣[0, 1]

V = π/405

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y^2=9x и y=3x, равен π/405.