1. Определить вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины имеется две цифры пять. Известно, что все номера трехзначные, неповторяющиеся и равновозможные.
2. Из урны, содержащей 5 белых и 7 черных шаров, наудачу с возвращением извлекают три шара. Найти вероятность того, что среди них будут два шара белого цвета.
3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,1. Найти вероятность того, что событие A появится хотя бы два раза.
4. В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

1. Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой комбинаторики. Известно, что номер трехзначный, поэтому всего возможно 900 комбинаций номеров (от 100 до 999). Теперь нужно найти количество номеров, в которых имеются две цифры пять.

В номере первой встретившейся автомашины имеется две цифры пять, если одна из цифр находится на месте сотен, а другая на месте единиц или десятков. Поскольку номер неповторяющийся, то необходимо посчитать количество комбинаций, в которых пять находится на месте сотен, и количество комбинаций, в которых пять находится на месте единиц или десятков.

Количество комбинаций, в которых пять находится на месте сотен:
Единицы и десятки могут быть любыми цифрами, от 0 до 9, кроме пяти. Таким образом, на месте сотен может быть любая цифра, кроме 5, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. То есть, всего 10 комбинаций.

Количество комбинаций, в которых пять находится на месте единиц или десятков:
Сотни могут быть любыми цифрами, от 1 до 9, кроме пяти. А на обоих оставшихся местах (единицы и десятки) должна стоять пятерка. То есть, всего 9 комбинаций.

Теперь нужно сложить количество комбинаций с пятой на месте сотен и количество комбинаций с пятой на месте единиц или десятков: 10 + 9 = 19.

Вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины имеется две цифры пять, равна количеству комбинаций с двумя пятерками деленному на общее количество комбинаций номеров: P = 19/900 ≈ 0.0211 (округляем до четырех знаков после запятой).

2. Вероятность того, что среди трех извлеченных шаров будут два шара белого цвета, можно найти, разделив количество благоприятных исходов (когда два белых шара и один черный) на общее количество исходов (когда извлекается любая комбинация из трех шаров).

Количество благоприятных исходов можно найти двумя способами:
- Мы можем выбрать 2 шара из 5 белых и 1 шар из 7 черных: C(5, 2) * C(7, 1)
- Мы можем выбрать 3 шара из всех шаров и вычесть количество исходов, когда все три шара черные: C(12, 3) - C(7, 3)

Общее количество исходов, когда извлекаются 3 шара из урны, равно C(12, 3).

Теперь можем посчитать вероятность:
P = (C(5, 2) * C(7, 1)) / C(12, 3) ≈ 0.382 (округляем до трех знаков после запятой).

Таким образом, вероятность того, что среди трех извлеченных шаров будут два шара белого цвета, равна примерно 0.382.

3. Вероятность того, что событие A произойдет хотя бы два раза из 8 независимых испытаний, можно найти суммированием вероятностей появления события A два, три, ..., до восьми раз.

P(A появится хотя бы два раза) = P(2 раза) + P(3 раза) + ... + P(8 раз)
= (C(8, 2) * (0.1)^2 * (0.9)^6) + (C(8, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^5) + ... + (C(8, 8) * (0.1)^8 * (0.9)^0)

Теперь можем вычислить данную сумму и получить итоговую вероятность.

4. Чтобы найти наиболее вероятное число лампочек, которые будут работать в течение года, нужно проанализировать вероятности работы разного количества лампочек.

Вероятность того, что определенная лампочка будет работать, равна 0.7. Значит, вероятность того, что эта лампочка не будет работать, равна 0.3.

Давайте рассмотрим все возможные варианты работы лампочек:
- 0 лампочек работает - вероятность равна (0.3)^6 (все лампочки не работают);
- 1 лампочка работает - вероятность равна C(6, 1) * (0.7)^1 * (0.3)^5 (одна лампочка работает, остальные - нет);
- 2 лампочки работают - вероятность равна C(6, 2) * (0.7)^2 * (0.3)^4;
- 3 лампочки работают - вероятность равна C(6, 3) * (0.7)^3 * (0.3)^3;
- 4 лампочки работают - вероятность равна C(6, 4) * (0.7)^4 * (0.3)^2;
- 5 лампочек работает - вероятность равна C(6, 5) * (0.7)^5 * (0.3)^1;
- 6 лампочек работает - вероятность равна (0.7)^6 (все лампочки работают).

Теперь можем посчитать вероятности для каждого варианта и выбрать тот, у которого вероятность наибольшая. Наиболее вероятное число лампочек, которые будут работать в течение года, будет соответствовать варианту с наибольшей вероятностью.