Дано: а и b - скрещивающиеся прямые; γ - плоскость, а ∉ γ, b ∈ γ. Точка M ∈ а, точка N ∈ b. Через а и N проведена плоскость α. Через b и М проведена плоскость β (рис. 1). Найти: а) лежит ли прямая b в плоскости α? б) пересекаются ли плоскости α и β?
Дано: ABCD - параллелограмм; АВЕК - трапеция: ЕК - основание; ЕК ∉ (ABCD) (рис. 2).
а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК.
б) Найти: Р(ABEK), если АВ = 22,5 см; ЕК = 27,5 см.
№ 3. Вопросы:
а) Какие две прямые в пространстве называются параллельными?
б) Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
в) Какие возможны случаи взаимного расположения прямой и плоскости?
г) Дан куб ABCDA1В1C1D1. Запишите четыре пары параллельных прямых.
д) Верно ли утверждение: если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая прямая не пересекает эту плоскость.

Разделим дорогу от дома к речке на три участка одинаковой длины и эту длину примем за 1. Введем новую единицу измерения – «шарик»; по определению, 1 «шарик» – это время, нужное Шарику, чтобы утром по дороге на речку пробежать участок длины 1. По условию, когда Матроскин добегает до D (начинает умываться), Шарик как раз находится в точке B (ведь он бежит в 3 раза медленнее Матроскина). Следовательно, на дорогу от дома до речки (так же, как и на обратную дорогу) Матроскин затрачивает столько же времени, сколько нужно Шарику, чтобы пробежать отрезок длины 1, т. е. 1 «шарик». Матроскин умывается 8 «шариков» (действительно, в тот день, когда Шарик забыл полотенце, он, как всегда, добежал до точки B, а Матроскин в этот момент начал умываться, затем Шарик пробежал 8 раз отрезок длины 1: от B к D (два участка длины 1), от D к A(три участка длины 1) и, наконец, от A к D уже с полотенцем (три участка длины 1), - и как раз Матроскин в этот момент умываться закончил). Далее, так как по условию Матроскин моется в два раза дольше Шарика, то Шарик моется 4 «шарика». Остается подсчитать время, затраченное каждым из наших героев на дорогу от дома к речке, умывание и дорогу обратно, от речки к дому. Шарик: 3 + 4 + 3 = 10 «шариков»; Матроскин: 1+8+1=10 «шариков». Следовательно, Матроскин и Шарик прибегают домой после умывания одновременно.

Пусть расстояние от дома до реки за 1.
Бося бежит со скоростью х, тогда Тося бежит со скоростью 3х. Время, за которое Бося добегает до реки, равно 1/х. Время, за которое Тося добегает до реки, равно 1/3х.Пока Бося бегала туда и обратно, Тося закончила умываться. Значит, время, за которое Тося умывается, равно (1/х)•2=2/х.Время, за которое умывается Бося, равно (2/х):2=1/х.
Время, за которое Бося добегает до реки, умывается и возвращается обратно 1/х + 1/х + 1/х = 3/х.
Время, за которое Тося добегает до реки, умывается и возвращается обратно:1/3х + 2/х + 1/3х =1/3х + 6/3х + 1/3х = 8/3х.
3/х > 8/3х, значит, Тося прибегает домой раньше.