Дана прямоугольная трапеция АВСД, основания которой АВ= 8 см и СД=20 см, боковая сторона ВС=15 см. Найти высоту трапеции.

Диагональ основания - это сторона диагонального сечения ( сечение - прямоугольник)
диагональ основания = 312 : 12 = 26
диагональ основания  - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами , равными сторонам основания ( х  и  у)
х² + у² = 676
ху = 240
вот теперь будем решать эту систему уравнений:
 х² + у² = 676          х² + у² = 676
ху = 240 | * 2 , ⇒     2xy = 480      Сложим почленно
получим (х + у)² = 1156
                 х + у = 34   ( число с минусом отбрасываем)
х = 34 - у  это подстановка. Лучше во 2-е уравнение:
у(34 - у) = 240
34у - у² = 240
у² -34у +240 = 0
по т. Виета  корни 10 и 24
х = 34 - у 
х = 34 - 10 = 24  или       34 - 24 = 10
ответ: стороны основания 10 и 24

(Поскольку о ребрах пирамиды ничего не говорится, примем допущение, что она правильная,  тогда все ее грани равны, а вершина проецируется в центр основания.) 

Площадь полной поверхности пирамиды - сумма площади основания и площади боковой поверхности. 

S=S(ABCD)+4•S(∆ MBC)

Проведем ОН ⊥ ВС. 

Углы основания прямые, поэтому ОН║АВ. 

О - центр (АВСD) ⇒ ОН=АВ:2=5 см

S ∆ MBC=0,5MH•BC

Проведем МН. По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥ВС. ⇒

МН - высота ∆ ВМС.

МН=√(MO²+HO²)=√(400+25)=5√17

S(полн)=10²+4•0,5•10•5√17=100+100•5√17=100(1+5√17) см²