У вас есть три положительных числа X>Y>Z, причем X/Y > 2. За один ход вы можете уменьшить величину X на удвоенную величину Y, а остальные два числа оставить без изменений. Если при этом окажется, что наибольшее из получившихся чисел более чем вдвое больше среднего из них, вы можете сделать аналогичный следующий ход: уменьшить наибольшее на удвоенную величину среднего. Так вы повторяете до тех пор, пока либо отношение наибольшего к среднему окажется не более 2, либо одно из чисел обнулится. Какое наибольшее число ходов может длиться такой про

Решение верно, далее нужно не интегрировать, а брать производную (найти екстримальные, стационарные, критические и т.п. - что суть одно и то же - точки) и приравнивать ее нулю.
dV/da=(1/3)*n*L^3*(-2*cosa*sina*sina+(cosa)^2*cosa)=0
-2*cosa*sina*sina+(cosa)^2*cosa=0
cosa*(-2*(sina)^2+(cosa)^2)=0

cosa=0 - не имеет физического смысла, т.к. при этом объем равен нулю V=(1/3)*n*L^3*(0)^2*sina=0

-2*(sina)^2+(cosa)^2=0
-2*(sina)^2+1-(sina)^2=0
3*(sina)^2=1, откуда
sina=sqr(1/3) и подставляя это значение в формулу для H:
H=L*sina=L*sqr(1/3)

Здесь sqr - корень квадратный.

Периметр - это сума длин всех сторон. Вычислим длину каждой стороны.
Первая сторона 512 см по условию
Вторая сторона в три раза меньше первой,значит
1) 512 : 3= (170 целых 2/3) см - вторая сторона
Третья сторона на 3 см больше второй, значит: 
2) 170 целых 2/3 см + 3= (173 целых 2/3) см- третья сторона
Четвертая сторона на 15 см больше третьей
3) (173 целых  2/3) + 15=(188 целых 2/3 ) см- четвертая сторона

Теперь найдем периметр:
4) 512 + (170 целых 2/3) + (173 целых 2/3)  + (178 целых 2/3 ) = 512+170+173+188+ (2+2+2)/3 =682+173+188+2=855+190= 1045 см
ответ: периметр четырехугольника 1045 см