Пошаговое объяснение:
Дано: ΔАВС.
∠АСВ = 45°;
AK = 2KC;
∠АКS = 60°; ∠ACS = 30°;
Доказать: AS = BS
Доказательство:
1. Рассмотрим ΔSКC.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.⇒ ∠AKS = ∠3 + ∠KCS
60° = ∠3 + 30°
∠3 = 30°
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник - равнобедренный.⇒ ΔSКC - равнобедренный, то есть
SK = KC
2. Рассмотрим ΔSBC.
∠C = ∠SCK + ∠KCB = 30° + 45° = 75°
Сумма углов треугольника равна 180°.⇒ ∠SBC = 180° - (30° + 75°) = 75°
⇒ ΔSBC - равнобедренный.
То есть BS = CS
3. Отметим точку М так, что АМ = МК.
Так как AK = 2KC, то
АМ = МК = КС.
4. Рассмотрим ΔMKS.
SK = KC (п.1)
МК = КС (п.3)
⇒ SK = MK ⇒ ΔMKS - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.∠КМS = ∠KSM = (180° - 60°) : 2 = 60°
⇒ ΔMKS - равносторонний.
⇒ SK = MK = MS
5. Рассмотрим ΔAKS.
AM = MK = SM (п. 3 и 4)
Если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна её половине, то угол, из которого проведена медиана, прямой.⇒ ΔAKS - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠4 = 90° - 60° = 30°.
6. Рассмотрим ΔАСS.
∠4 = ∠ACS = 30°
⇒ ΔАСS - равнобедренный.
AS = CS
BS = CS (п.2)
⇒ AS = BC
