Для функции f(x) = 2x2+х найдите первообразную, график которой

проходит через точку

A(1;1)

№2.Вычислите

интеграл:

a) f(2x210+3) dx

6) [sin 2x7t-7 dx в) [2x-12x+120 dx

№3. Найдите

площадь фигуры,

ограниченной

линиями:

a) параболой у=

(х-1)2, прямой у=х+1

и осью Ох.

б) графиком функции

y= 4х при х>0,

параболой

y = -x2+ 4x+1.

Хорошо, я рад выступить в роли школьного учителя и помочь вам с решением данных задач. Давайте начнем по порядку.

1. Найдите первообразную функции f(x) = 2x^2 + x, график которой проходит через точку A(1,1):

Для нахождения первообразной необходимо интегрировать данную функцию. Обычно в таких задачах используются правила дифференцирования и интегрирования. Давайте применим правило интегрирования для степенной функции и получим:

∫(2x^2 + x) dx = 2∫x^2 dx + ∫x dx

Для нахождения интеграла ∫x^2 dx, мы можем использовать правило для интегрирования степенных функций:

∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1)

В данном случае n = 2, поэтому:

∫x^2 dx = (1/3) * x^3

Теперь выполняем интегрирование для ∫x dx:

∫x dx = (1/2) * x^2

Теперь объединим оба результаты:

∫(2x^2 + x) dx = 2(1/3) * x^3 + (1/2) * x^2

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x^2 + x, проходящая через точку A(1,1), выглядит следующим образом:

F(x) = (2/3) * x^3 + (1/2) * x^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

2. Вычислите интегралы:

a) ∫(f(2x^2 + 10) + 3) dx

Применим правило замены переменных для данного интеграла. Пусть u = 2x^2 + 10, тогда du/dx = 4x, а dx = (1/4x) du. Перепишем интеграл с использованием новой переменной:

∫(f(2x^2 + 10) + 3) dx = ∫(f(u) + 3)(1/4x) du

Теперь подставим первообразную f(x) = 2x^2 + x и выполним интегрирование:

∫((2(2x^2 + 10) + (2x^2 + 10)) + 3)(1/4x) dx

= (1/4)∫(8x^2 + 40 + 2x^2 + 10 + 3) dx

= (1/4)∫(10x^2 + 53) dx

Возьмем производную для функции x^3, чтобы найти соответствующий интеграл:

∫x^3 dx = (1/4) * x^4 + C

Теперь подставим это в интеграл и получим ответ:

(1/4) * ∫(10x^2 + 53) dx = (1/4)((10/3) * x^3 + 53x) + C

= (10/12) * x^3 + (53/4) * x + C

где C - постоянная интегрирования.

6) ∫[sin(2x) + 7] dx

Интегрирование синуса требует использования тригонометрических свойств. Результат будет следующим:

∫sin(2x) dx = -(1/2) * cos(2x)

∫7 dx = 7x

Теперь сложим оба интеграла:

∫[sin(2x) + 7] dx = -(1/2) * cos(2x) + 7x + C

где C - постоянная интегрирования.

в) ∫[2x - 12x + 120] dx

Вычислим интеграл каждого слагаемого по отдельности:

∫2x dx = x^2

∫-12x dx = -6x^2

∫120 dx = 120x.

Теперь сложим все интегралы:

∫[2x - 12x + 120] dx = x^2 - 6x^2 + 120x + C

где C - постоянная интегрирования.

3. Найдите площадь фигур, ограниченных данными линиями:

а) Парабола у = (x-1)^2, прямая у = x + 1 и ось Ox

Для нахождения площади фигуры между параболой и прямой, необходимо найти точки пересечения двух функций.

Приравняем уравнение параболы к уравнению прямой и решим уравнение относительно x:

(x-1)^2 = x + 1

Раскроем квадрат и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

x^2 - 2x + 1 = x + 1

x^2 - 3x = 0

x(x - 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения x = 0 и x = 3.

Теперь найдем площадь фигуры между параболой и прямой. Мы можем использовать формулу для вычисления площади между двумя функциями:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае:

верхняя функция: y = (x-1)^2

нижняя функция: y = x + 1

Таким образом,

Площадь = ∫[(x-1)^2 - (x + 1)] dx = ∫[(x^2 - 2x + 1) - (x + 1)] dx

= ∫(x^2 - 2x + 1 - x - 1) dx

= ∫(x^2 - 3x) dx

Мы уже решали этот интеграл ранее и получили результат:

∫(x^2 - 3x) dx = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + C

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой у = (x-1)^2, прямой у = x + 1 и осью Oх, равна:

Площадь = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + C

б) График функции y = 4x (при x > 0), парабола y = -x^2 + 4x + 1

Для нахождения площади фигуры между двумя функциями опять необходимо найти точки пересечения двух функций.

Приравняем уравнение параболы к уравнению прямой и решим уравнение относительно x:

-x^2 + 4x + 1 = 4x

-x^2 + 1 = 0

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения x = 1 и x = -1. Однако, по условию дано, что x > 0, поэтому x = -1 не подходит.

Теперь найдем площадь фигуры между параболой и графиком функции. Опять используем формулу для вычисления площади между двумя функциями:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае:

верхняя функция: y = -x^2 + 4x + 1

нижняя функция: y = 4x

Таким образом,

Площадь = ∫[(-x^2 + 4x + 1) - 4x] dx = ∫(-x^2 + 1) dx

Мы уже решали этот интеграл ранее и получили результат:

∫(-x^2 + 1) dx = -(1/3)x^3 + x + C

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x (при x > 0) и параболой y = -x^2 + 4x + 1, равна:

Площадь = -(1/3)x^3 + x + C

Это и ответ на все задачи. Если у вас остались вопросы по каким-то шагам или формулам, пожалуйста, обратитесь за дополнительной помощью.