В цехе имеется 5 однотипных станков. Вероятность выхода из строя одного станка равна 0,8. Пусть случайная величина X равна количеству станков, потребовавших
ремонта. Составить закон распределения этой случайной величины. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.
ПОДРОБНО

0,1536

Пошаговое объяснение:

в файле вроде все понятно

Для составления закона распределения случайной величины X, которая равна количеству станков, потребовавших ремонт, нам необходимо знать вероятность каждого возможного значения.

Пусть событие А будет обозначать то, что станок не вышел из строя, а событие В - что станок вышел из строя.

Из условия известно, что вероятность выхода из строя одного станка равна 0,8. Следовательно, вероятность того, что станок не вышел из строя, будет равна 1 - 0,8 = 0,2.

Теперь составим закон распределения случайной величины X:

P(X = 0) - вероятность того, что ни один станок не будет требовать ремонта. В данном случае это будет вероятность того, что все 5 станков останутся в рабочем состоянии. Так как станки работают независимо друг от друга, то вероятность будет равна произведению вероятностей независимых событий:
P(X = 0) = P(А, А, А, А, А) = P(А)^5 = 0,2^5 = 0,00032

P(X = 1) - вероятность того, что один станок потребует ремонта, а остальные останутся в рабочем состоянии. Здесь нужно учесть, что станок, который вышел из строя, может быть любым из пяти. Также нужно учитывать, какие станки остались в рабочем состоянии. Для этого можно применить комбинаторику. Количество способов выбрать один станок из пяти равно 5, а вероятность выхода из строя равна 0,8. Оставшиеся станки (4 из 5) должны остаться в рабочем состоянии соответственно с вероятностью 0,2:
P(X = 1) = C(5, 1) * P(В) * P(А, А, А, А) = 5 * 0,8 * 0,2^4 = 0,256

P(X = 2) - вероятность того, что два станка потребуют ремонта, а остальные останутся в рабочем состоянии. Применяя аналогичные рассуждения, получим:
P(X = 2) = C(5, 2) * P(В, В) * P(А, А, А) = 10 * 0,8^2 * 0,2^3 = 0,2048

P(X = 3) - вероятность того, что три станка потребуют ремонта, а остальные останутся в рабочем состоянии:
P(X = 3) = C(5, 3) * P(В, В, В) * P(A, A) = 10 * 0,8^3 * 0,2^2 = 0,1024

P(X = 4) - вероятность того, что четыре станка потребуют ремонта, а один останется в рабочем состоянии:
P(X = 4) = C(5, 4) * P(В, В, В, В) * P(А) = 5 * 0,8^4 * 0,2 = 0,0256

P(X = 5) - вероятность того, что все пять станков потребуют ремонта:
P(X = 5) = C(5, 5) * P(В, В, В, В, В) = 1 * 0,8^5 = 0,32768

Теперь посчитаем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Математическое ожидание (μ) можно найти как сумму произведений значения случайной величины на его вероятность для всех возможных значений:
μ = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4) + 5 * P(X = 5)
= 0 * 0,00032 + 1 * 0,256 + 2 * 0,2048 + 3 * 0,1024 + 4 * 0,0256 + 5 * 0,32768
= 0 + 0,256 + 0,4096 + 0,3072 + 0,1024 + 1,6384
= 2,7136

Теперь вычислим дисперсию (σ^2). Дисперсия это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
σ^2 = E[(X - μ)^2] = (0 - μ)^2 * P(X = 0) + (1 - μ)^2 * P(X = 1) + (2 - μ)^2 * P(X = 2) + (3 - μ)^2 * P(X = 3) + (4 - μ)^2 * P(X = 4) + (5 - μ)^2 * P(X = 5)

Подставим значения и рассчитаем дисперсию:
σ^2 = (0 - 2,7136)^2 * 0,00032 + (1 - 2,7136)^2 * 0,256 + (2 - 2,7136)^2 * 0,2048 + (3 - 2,7136)^2 * 0,1024 + (4 - 2,7136)^2 * 0,0256 + (5 - 2,7136)^2 * 0,32768
= 7,359922432

Теперь построим функцию распределения.

Функция распределения случайной величины X представляет собой сумму вероятностей всех значений, меньших или равных данному. Построим таблицу:

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
F(X) | 0,00032 | 0,25632 | 0,46112 | 0,56352 | 0,58912 | 1,00000 |

Итак, закон распределения случайной величины X будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P(X) | 0,00032 | 0,25632 | 0,46112 | 0,56352 | 0,58912 | 0,32768 |

Математическое ожидание (μ) равно 2,7136, а дисперсия (σ^2) равна 7,359922432. Функция распределения показывает вероятность получить значение случайной величины X, которое меньше или равно данному значению.