Число называется красивым если его можно записать в виде А×А + А + 1, где А – какое-то натуральное число. Может ли сумма двух красивых чисел оказаться красивым числом?

1) cos2x + 3sinx = 2
cos2x=cos²x-sin²x, cos²x-sin²x  + 3sinx = 2, ,
1-sin²x-sin²x+ 3sinx -2 =0.Пусть sinx=t,тогда sin²x=t² и тогда:-2t²+3t-1=0, 2t²-3t+1=0 
D=3²-4·2·1=9-8=1,t₁=(3+1)/2·2=1,
t₂=(3-1)/4=1/2=0,5.Тогда имеем:   
   sinx=1 ,               sinx=0.5
   x=π/2+2πn            x=(-1)ⁿπ/6+ πn,где n∈Z 
n=0,x₁= π/2 ,             x₂= π/6.
n=1,x₁= π/2+2π/2=3π ,x₂= π- π/6=5π/6 
ответ: 5π/6  

Б) cos2x + 2 = 3cosx
cos2x=cos²x-sin²x, cos²x-sin²x+2-3 cosx=0
2cos²x-1-3cosx+2=0, 2cos²x-3cosx+1=0
Пусть cosx=t,тогда cos²x=t² и имеем
  2t²-3t+1=0,D=3²-4·2·1=9-8=1,t₁=(3+1)/2·2=1,t₂=(3-1)/4=1/2=0,5.Тогда имеем: 
      cosx=1 и                cosx=0.5
    х= 2πn                  х=+- π/3+ 2πn   
n=-2, х₁=-2π ,           х= -π/3- 2π=-2 2/3π  
ответ:  х= -2 2/3π =-8π/3 
Укажите наименьшее значение, принадлежащее отрезку{-2,5π;-0,5π}

Будем отмечать каждый день количество задач решенных с 1 января по текущий

день включительно.

Получим 365 чисел.

Если разность каких-либо двух из этих чисел равна 20, то утверждение задачи верно.

Докажем, что такая пара найдется.

Обозначим Ок количество чисел дающих при делении на 20 остаток к

Очевидно О0+О1+О2+О3+...+О18+О19=365

поскольку каждое число хоть какой-нибудь остаток имеет.

Далее, хотя бы одно из Ок не меньше 19 (иначе сумма Ок не больше 360)

Возьмем под пристальное наблюдение числа с таким остатком. Те самые, которых не меньше 19.

Разность любых двух из них делится на 20.

Осталось показать, что разность хотя бы двух из них не превосходит, например, 32 (чтоб легче было считать). Тогда она равна 20, поскольку делится на 20.

Допустим противное: разность любых двух последовательных больше 32. Тогда самое

большое из них будет не меньше 18*32=576.

Но поскольку решалось не более 12 задач в неделю, то число всех решенных за год

задач не превосходит 52*12+12=546

Отрезков длиной 32 покрывающих промежуток (0,546) не более 18. А чисел

с одинаковыми остатками не меньше 19.

Значит хотя бы 2 их них попадут в один промежуток (принцип Дирихле)