4.3. Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть квадратом натурального числа.

n ∈ N

n > 0

пусть число XYZ тогда обратное ZYZ

XYZ - ZYX = 100X + 10Y + Z - 100Z - 10Y - X = 99X - 99Z = 99(X - Z)

допустим что есть такое K

что 99(X - Z) = K²  

так 99(X-Z) кратно 3 и 11 то и K кратно 3 и 11 и на3*11 = 33

значит K = 33M  M∈N

K² = (33M)² < 1000  (99*9 < 1000)

1089M² < 1000

M² < 1000/1089 < 1

противоречие M ∈ N

доказано