1) Число кончается на 2, то есть четное. Сумма цифр 2016*1 + 2016*2 = 2016*3 - делится на 3. Да, это число делится и на 2, и на 3, то есть делится на 6. 2) 15% от числа А = 0,15A = 15A/100 = 3A/20 Если оно целое, то А должно быть кратно 20. 3) x^2 = -xy x^2 + xy = 0 x(x + y) = 0 Или x = 0, или x + y = 0, но необязательно, что x + y = 0 4) Ось параболы y = ax^2 + bx + c имеет уравнение x = -b/(2a) Парабола y = x^2 + 2ax - a+1. Ее ось x = -2a/2 = -a. Если точка (2, 3) лежит на этой оси, то x = -a = 2, a = -2 Уравнение параболы принимает вид y = x^2 - 4x + 3. y(3) = 3^2 - 4*3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 Точка (3, 0) лежит на этой параболе. 5) |2x-1| + |x-1| + |x-2| = a При x < 1/2 будет |2x-1| = 1-2x; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x 1 - 2x + 1 - x + 2 - x = 4 - 4x = a x = 1 - a/4 < 1/2 a/4 > 1/2 a > 2 - при таких а будет 1 решение, при a < 2 решений нет При 1/2 <= x < 1 будет |2x-1| = 2x-1; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x 2x - 1 + 1 - x + 2 - x = a 2 = a - при этом решением является любое x = [1/2; 1), то есть бесконечное количество решений. Дальше можно не рассматривать, все уже доказано. 6) x^2 - a = 1/x x^3 - ax = 1 x^3 - ax - 1 = 0 Оно будет иметь два решения, если кубическое уравнение раскладывается на двучлен и квадрат двучлена (x - x1)(x - x2)^2 = (x - x1)(x^2 - 2x*x2 + x2^2) = 0 x^3 - x1*x^2 - 2x2*x^2 + 2x*x1*x2 + x*x2^2 - x1*x2^2 = 0 x^3 - (x1 + 2x2)*x^2 + (2x1*x2 + x2^2)*x - x1*x2^2 = 0 x^3 - ax - 1 = 0 Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны { x1 + 2x2 = 0 { 2x1*x2 + x2^2 = -a { x1*x2^2 = 1 Подставляем { x2^2 = 1/x1 { x2 = -x1/2 { 2x1*x2 + x2^2 = -a Из 1 и 2 уравнений получаем x2^2 = x1^2/4 = 1/x1 x1^3 = 4 x1 = ∛(4) = 2^(2/3) x2 = -x1/2 = -2^(-1+2/3) = -2^(-1/3) Вычисляем а 2x1*x2 + x2^2 = -a 2*2^(2/3)*(-2^(-1/3)) + 2^(-2/3) = -a -2^(1+2/3-1/3) + 2^(-2/3) = -a a = 2^(4/3) - 2^(-2/3) При таком а уравнение имеет 2 корня x1 = 2^(2/3), x2 = -2^(-1/3)
