На кольцевой беговой дорожке устраивается забег для 179 петухов. Все стартуют из одной точки, каждый петух бежит со своей постоянной скоростью. Петух №1 за час пробегает ровно 1 круг, петух №2 — ровно 2 круга,... , петух №179 — ровно 179 кругов. Беда в том, что если после старта какие-то два (или более) бегущих петуха окажутся в одной точке, они сойдут с дистанции и начнут биться. При этом любой петух, который бежит мимо уже начавшегося боя, не обращает на этот бой внимания. а) Пусть все петухи стартуют в одном и том же направлении. Спустя долгое время с дистанции сошли все, кто мог. Определите, какой из номеров останется бежать.
б) Пусть петухи с чётными номерами бегут в одном направлении, а все с нечётными номерами — в другом. Как и в предыдущем пункте, определите, какой из номеров останется бежать.

a) Пусть все петухи стартуют в одном и том же направлении. Для того чтобы определить, какой из номеров останется бежать, нужно рассмотреть ситуацию, когда беговая дорожка полностью забита петухами, и ни один из них не сошел с дистанции.

Заметим, что если два петуха имеют совпадающие номера скоростей, то они обязательно встретятся в какой-то момент на дорожке и начнут биться. Поэтому останутся только те петухи, которые имеют разные номера скоростей.

Для того чтобы понять, какие номера скоростей останутся на дорожке, нужно рассмотреть еще одну ситуацию. Пусть на дорожке остался петух с номером скорости k. Тогда это значит, что все петухи с номерами скоростей от 1 до k-1 сошли с дистанции, так как встретились с петухом k и начали с ним драку.

Таким образом, останется на дистанции петух с наибольшим номером скорости. В данном случае, на дистанции останется петух с номером скорости 179.

Ответ: В результате забега останется бежать петух с номером 179.

б) Пусть петухи с четными номерами бегут в одном направлении, а все с нечетными номерами — в другом.

Аналогично предыдущему пункту, чтобы определить, какой из номеров останется бежать, нужно рассмотреть ситуацию, когда беговая дорожка полностью забита петухами, и ни один из них не сошел с дистанции.

Заметим, что если два петуха имеют совпадающие номера скоростей (число скорости делится на 2), то они обязательно встретятся в какой-то момент на дорожке и начнут биться. Поэтому останутся только те петухи, которые имеют разные номера скоростей.

Для того чтобы понять, какие номера скоростей останутся на дорожке, нужно рассмотреть еще одну ситуацию. Пусть на дорожке остался петух с номером скорости k. Тогда это значит, что все петухи с номерами скоростей от 1 до k-1 сошли с дистанции, так как встретились с петухом k и начали с ним драку.

В данном случае, на дистанции останется петух с наибольшим номером скорости, который при этом имеет нечетный номер. Последовательность нечетных чисел выглядит следующим образом: 1, 3, 5, 7, ..., 177, 179. При этом останется на дистанции петух с номером скорости 179.

Ответ: В результате забега, если петухи с четными номерами бегут в одном направлении, а все с нечетными номерами — в другом, останется бежать петух с номером 179.