Дано точки М1(-5,17,21) та М2(2,3,0) m:n=4:3, λ= –5 . Знайдіть: а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора М1М2; б) координати точки М, якщо М1М : ММ2 = m:n; в) координати точки M3, якщо М1М3 λМ1М2

Примем весь объём работы за целое:

1) 1 : 6 = 1/6 части - производительность Чебурашки (за 1 ч)

2) 1 : 4 = 1/4 части - производительность Гены

3) 2 * 1/6 = 2/6 = 1/3 части - выполнил Чебурашка за 2 часа без Гены

4) 1 - 1/3 = 3/3 - 1/3 = 2/3 части - осталось выполнить вместе

5) 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 части - общая производительность

6) 2/3 : 5/12 = 2/3 * 12/5 = 8/5 ч = 1  3/5 ч = 1 ч 36 мин. - разгружали вместе

7) 2 ч + 1 ч 36 мин. = 3 ч 36 мин. - всего

ответ: Чебурашка с Геной разгрузили машину за 3 ч 36 мин.

Рассмотрим треугольник ABC (AB не равно АС), из вервершины А которого проведены высота АН, биссектриса AD и ради- радиус АО описанной окружности. Докажем, что луч AD — биссектриса угла О АН. Продолжим биссектрису AD до пересечения с описанной окружно- окружностью в точке М. Углы ОМА и О AM при основании равнобедренного треугольника ОAM равны, причем эти углы — острые. Поскольку ВМ=МС и ВО=ОС, то прямая ОМ является серединным перпендикуляром к отрезку ВС. Прямые ОМ и АН, будучи перпендикулярными к прямой ВС, параллельны. Поэтому если углы ОМА и DAH — накрест лежащие, то ∠DAH=∠OMA < 90°; если же эти углы — односторонние, то ∠DAН= 180° - ∠OMA > 90°. Но угол DAH является острым углом прямоугольного треугольника ВАН. Следовательно, ∠DAH=∠OMA=∠ОAM, причем лучи АН и АО лежат по разные стороны от прямой AD. Это и означает, что луч AD — биссектриса угла ОАН. Утверждение доказано.