Дан треугольник ABC точки A(-2;5), B(4;-1), C(-2;3) точка M середина AB, точка K середина AC. Найдите: 1. Координаты точек M и K и длину средней линии MK?
2. Длину медиан MC и KB?
3. Длины сторон треугольника

Введём обозначение НОД(a; b) = n. Так как a•b = НОД(a; b)•НОК(a; b), то

НОК(a; b) = a•b/НОД(a; b) = a•b/n.

Рассмотрим числа c = a/n и d = b/n. Тогда c и d взаимно простые числа. Поэтому HOД(c; d) = 1 и НОК(c; d) = c•d.

Далее, так как a = c•n и b = d•n, то

6•(a+b) = 6•(c•n+d•n) = 6•n•(c+d) и НОД(a; b)+НОК(a; b) = n + a•b/n.

Отсюда

6•n•(c+d) = n + a•b/n или

6•(c+d) = 1 + a•b/n² = 1 + (a/n)•(b/n) = 1 + c•d = HOД(c; d) + НОК(c; d), то есть

6•(c+d) = HOД(c; d) + НОК(c; d).

Так как c ≤ a и d ≤ b, то последнее равенство означает, что наименьшее значение a•b следует искать среди чисел, для которых HOД(a; b) = 1.

Найдём целочисленные решения уравнения

6•(c+d) = 1 + c•d.

6•(c+d) = 1 + c•d ⇔ 6•c–c•d = 1–6•d ⇔ c•(6–d) = 1–6•d ⇔

⇔ c = (1–6•d)/(6–d) = (6•d–1)/(d–6) = (6•d–36+35)/(d–6) = 6+35/(d–6).

Значит, 35 делится на d–6, поэтому

d = 7 или 11 или 13 или 41.

Отсюда

c = 41 или 13 или 11 или 7.

Тогда получим следующие пары:

(7; 41), (11; 13), (13; 11), (41; 7).

Так как 7•41 = 287 и 11•13 = 143, то наименьшее произведение равно 143

Пусть X человек - это количество мальчиков, сидящих на уроке с мальчиками.

Тогда количество пар "мальчик - мальчик" равно X/2.

По условию задачи таких мальчиков в 2 раза больше девочек, сидящих с девочками.

Количество девочек равно X/2, а количество пар "девочка- девочка" равно X/4.

В тоже время известно, что девочек, сидящих с мальчиками равно X человек.

2. Посчитаем общее число мальчиков в классе.

X/2 * 2 + X = 2 * X человек.

Вычислим общее число девочек в классе.

X/4 * 2 + X = 1,5 * X человек.

3. Определим, во сколько раз мальчиков в классе больше, чем девочек.

2 * X / (1,5 * X) = 4/3.

ответ: мальчиков больше в 4/3 раза