При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.
Решение геометрических задач с векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:
1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.
2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.
3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.
4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.
5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.
6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.
7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.
8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.
9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.
Пошаговое объяснение:
I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:
а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.
б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC : CB = m : n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .
в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .
г) . Равенство . = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)
Пошаговое объяснение:
Правило треугольника сложения векторов. Если конец 1-го вектора совмещён с началом 2-го вектора, то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом 1-го вектора, а конец - с концом 2-го вектора .
АВ+СО= 0 , так как при параллельном переносе вектора СО на линию, где лежит вектор АВ,совмещается начало вектора СО , точка С , с концом вектора АВ, точкой В, а конец вектора СО, точка О, совмещается с началом вектора АВ, точкой В. В таком положении вектор от точки А до точки О, совмещённой с точкой А, будет нулевой.
Теперь сложим 0+ВЕ=ВЕ.
ВЕ+DC=BO , так как при параллельном переносе вектора DC совмещаются точки D и Е , а также С и О . Фактически вычитается из вектора ВЕ его половина, остаётся вектор ВО.
ВО+ВС=BD . Действуем по правилу параллелограмма. Если совмещены начала обоих векторов, то их суммой будет вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, причём диагональ выходит из общего начала.
BD+DO=BO . По правилу треугольника у векторов-слагаемых совмещено начало вектора ОD , точка D, с концом вектора BD, точка D. Поэтому результатом будет вектор ВО.
AB+CO+BE+DC+BC+DO=BO
