АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС

1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме:
z = a + b*i
Оно же в тригонометрической форме:
z = r*(cos Ф + i*sin Ф)
Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)

2) z = 1 - i
a = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4
z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))

3)
Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:
Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.

Теперь переведем его в тригонометрическую форму

Здесь нам номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.
По формуле Муавра для степени и корня комплексного числа:
z^n = r^n*(cos(n*Ф) + i*sin(n*Ф))

Даны вершины пирамиды: А(2; 7; 9), В(3; 4; 9), С(3; 10; 10), D(4; 5; 8).

Найти:

а) угол ∠DAC.

Для этого надо найти векторы AD и AC.

AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1), модуль равен √(2² + (-2)² + (-1)²) = √9 = 3.

AC = (3-2; 10-7; 10-9) = (1; 3; 1), модуль равен √(1² + 3² + 1²) = √11.

Находим косинус угла между векторами.

cos (AD_AC) = (2*1+(-2)*3+(-1)*1)/(3*√11) = -5/(3√11) ≈ -5/9,9499  = -0,5025.  

Угол равен 2,0973 радиан или 120,16679 градуса.

б) площадь грани ABC.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Находим вектор АВ:

AВ = (3-2; 4-7; 9-9) = (1; -3; 0).

Вектор АС уже найден: AC = (1; 3; 1).

Их векторное произведение равно:

I         j         k|        I          j

1       -3        0|       1        -3

1       3          1|       1         3 = -3i + 0j + 3k - 1j – 0i + 3k = -3i - 1j + 6k.

S = (1/2) √((-3)² + (-1)² + 6²) = (1/2)√9 + 1 + 36) = (1/2)√46 = √46/2 ≈ 3,3912.

в) объем пирамиды.

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-3; - 1;  6).

Находим вектор AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1),

(ABxAC) = -3      -1      6

       AD =   2      -2     -1    

                -6  + 2  +  -6 = -10.

V = (1/6)*|-10| = 10/6 = 5/3.