Заметим, что периметр шоколадки станет равным 10, если она будет состоять из прямоугольников 1 x 4 или 2 x 3, т. е. по одной стороне одна клетка, по другой 4 или по одной 2 клетки, по другой 3. По условию Петя начинает игру первый. Покажем, что у него существует выигрышная стратегия. Допустим, что после его очередного хода шоколадка приняла форму квадрата со сторонами 5 x 5. В этом случае, какой бы ход ни сделал Вася, Петя побеждает следующим ходом. Это наглядно показано на рисунке. Следовательно, Петина стратегия заключается в урезании шоколадки на каждом своем ходу до квадрата. На первом ходу он отламывает от шоколадки кусок 1 x 2019, превращая шоколадку в квадрат 2019 x 2019. Затем каждый раз, когда Вася отламывает n клеток по горизонтали, Петя отламывает n клеток по вертикали, превращая шоколадку в квадрат размером (2019-n) x (2019-n). В результате найдется Васин ход, после которого по горизонтали или по вертикали шоколадки останется не более пяти клеток. Следующим своим ходом Петя либо сразу побеждает, если клеток менее пяти, либо урезает шоколадку до квадрата размером 5 x 5, если клеток ровно 5. Далее после любого Васиного хода Петя побеждает согласно рисунку ниже.
Можно рассмотреть сразу для n, так для любых других будет понятно
Пусть имеется позиций
12345n
1)Рассмотрим число вариантов для которых число 1 лежит на первой позиции это всего (n-1)! (потому что при фиксации 1-цы остальные будут «перетасовываться») аналогично и для остальных 2,3,4,...n то есть всего n*(n-1)!=n!
2) Рассмотрим случай когда будут ПО ДВА числа при их соответсвующие позициях к примеру (12)4579...n зафиксировав положение (12) и учитывая перемещение остальных получаем (n-2)! но всего таких вариантов C 2 n = n!/(2!*(n-2)!) тогда всего вариантов n!/2!
3) Аналогично и для всех остальных случаев для 3,4,...n
К примеру для 3-х фиксированных положений (123)...n
(n-3)!*n!/(3!*(n-3)!) = n!/3!
Так как нужно найти то положение в котором вышеперечисленные элементы НЕ ВХОДЯТ то используя формулы «включения и исключения» выходит
S=n!*(1-1+1/2!-1/3!+1/4!+...+(-1)^(n)/n!)
Проверим для n=5
S=5!*(1-1+1/2-1/6+1/24-1/120)=44
