Некоторые клетки белой прямоугольной таблицы закрасили синим. Во всех строках количество синих клеток различно, и во всех столбцах тоже. Докажите, что если в таблице не поровну строк и столбцов, то в ней поровну белых и синих клеток. (Количества строк и столбов в таблице неизвестно)

- Чисел, делящихся на 5, может быть не более одного, иначе сумма двух чисел, делящихся на 5, будет делиться на 5.
- Если выбрано хоть одно число, дающее остаток 1 при делении на 5, то не должны быть выбраны числа, дающие остаток 4 при делении на 5, и наоборот.
- Если выбрано хоть одно число, дающее остаток 2 при делении на 5, то не должны быть выбраны числа, дающие остаток 3 при делении на 5, и наоборот.

Чисел, дающих остаток 0 при делении на 5:  2200/5 - 1500/5 + 1 = 440 - 300 + 1 = 141, и их на 1 больше, чем с каждым ненулевым остатком.

Итак, можно взять неболее 1 числа, делящегося на 5, не более половины из 280 с остатками 1 или 4, не более половины из 280 с остатками 2 или 3. Тогда можно выбрать не больше, чем 1 + 140 + 140 = 281 число.

Оценка достигается, например, если выбрать все числа с остатками 1 и 3 и число 2010.

ответ. 281

Разбиваем все шарики на пары и каждую пару тестируем. Тем самым будет сделано 50 проверок. Если во время проверок лампочка загоралась только 1 раз, то все ясно - оба титановых шара в этой паре. Если лампочка загоралась 2 раза, это значит что в каждой из этих двух найденных пар один шарик титановый, а второй нет. Берем такую пару и тестируем один шарик из нее с любым не титановым (коих известно очень много в 48 остальных парах). Если лампочка загорелась, значит выбранный - титановый, если нет, то он не титановый, но тогда ясно, что второй шарик в паре - титановый. Это дает еще 2 теста. Итого, 52 проверки.