1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него x:
x=y'+3y *
Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой.
2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения:
x'=y"+3y'
Подставим x и x' в первое уравнение системы :
y"+3y'=-y'-3y+8y
И проведём максимальные упрощения:
y"+4y'-5y=0
Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
3) Составим и решим характеристическое уравнение:
m²+4m-5=0 => (m+5)(m-1)=0
m1=-5; m2=-1
– получены различные действительные корни, поэтому:
y(t) =C1e^5t+C2e^-t
Одна из функций найдена, пол пути позади.
4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по t:
y'(t) =5C1e^5t-C2e^-t
Подставим y и y' в уравнение (*):
x=5C1e^5t-C2e^-t+3C1e^5 t+3C2e^-t
Или короче:
x=8C1e^5t+2C2e^-t
5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:
x(t) =8C1e^5t+2C2e^-t
y(t) =C1e^5t+C2e^-t
Где С1 и С2 постоянные
4 13/60+4 15/60+4 5/60+4 6/60+4 8/60=20 47/60(мин)
Надо привести все числа к общему знаменателю. Здесь он равен 60.
НОД(60, 4, 12, 10)=60
4 13/60 мин - время первого спортсмена
4 1/4=4 15/60 мин - время второго
4 1/12=4 5/60 мин - время третьего
4 1/10=4 6/60 мин - время четвертого
4 2/15=4 8/60 мин - время пятого спортсмена.
Наименьшее число то, у которого меньше знаменатель. Значит, быстрее всех пробежал третий спортсмен, за 4 5/60 мин.
.
4 13/60+4 15/60+4 5/60+4 6/60+4 8/60=20 47/60(мин) - затрачено на всю эстафету.
