Высота должна быть равна ![2\sqrt[3]{2}](/tpl/images/4978/9339/13558.png)
Пошаговое объяснение:
Пусть сторона основания равна x, тогда площадь основания 
.
Так как объем такой прямой призмы вычисляется по формуле 
, то
Площадь поверхности без крышки состоит из четырех площадей одинаковых боковых граней, каждая из которых прямоугольник со сторонами 
и 
и площади основания (дна), поэтому она равна
Найдем минимум функции
Вычислим производную, применяя формулу ![\[({x^n})' = n{x^{n - 1}},\]](/tpl/images/4978/9339/a792e.png)
и приравняем ее нулю.
![S'(x) = - \displaystyle\frac{{256}}{{{x^2}}} + 2x = 0;displaystyle\frac{{2{x^3} - 256}}{{{x^2}}} = 0;2{x^3} = 256;{x^3} = 128;x = \sqrt[3]{{{2^7}}} = 4\sqrt[3]{2}.](/tpl/images/4978/9339/8a38b.png)
С метода интервалов убеждаемся, что проходя через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, таким образом, в этой точке достигается минимум функции.
При найденном значении высота равна
![H = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}=\displaystyle\frac{{64}}{{{16\sqrt[3]{4=2\sqrt[3]{2}.](/tpl/images/4978/9339/d75a4.png)
