Пусть х - коэффициент пропорциональности a + b + c = 170 a : b = 1 : 2 b = 2x b : c = 3 : 4 b = 3x 3 : 2 = 1,5 - доп.множ. к первой пропорции а = 1 * 1,5 * х = 1,5х b = 2 * 1,5 * x = 3х с = 4х Уравнение: 1,5х + 3х + 4х = 170 8,5х = 170 х = 170 : 8,5 х = 20 а = 1,5 * 20 = 30 - первое число b = 3 * 20 = 60 - второе число с = 4 * 20 = 80 - третье число ответ: 30 + 60 + 80 = 170.
Проверка: a : b = 30 : 60 = 1 : 2 (сократили на 30) b : c = 60 : 80 = 3 : 4 (сократили на 20)
Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть 2) Формулы площади треугольника
,где (Формула Герона), где r- вписанной окружности, где R — радиус описанной окружности3) Подобие треугольниковОпределение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть и Обозначение: 4) Признаки подобия двух треугольников 1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Коротко: если , то 2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобныКоротко: если и , то 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
Коротко: если , то 5) Свойства подобных треугольниковесли , то, где и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам) и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам) и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого углаТеорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
7) Свойство медиан в треугольнике.Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),То есть
Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть 8) Свойство биссектрис в треугольнике Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.То есть Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.То есть 11) Средняя линия треугольникаТеорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.То есть и
12) Теорема синусов и теорема косинусов Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.То есть Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единицеТо есть Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.14) Теорема Чевы Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
