4. Токарь выполнил до обеда 5 задания. После обеда он обточил половину оставшихся деталей да еще 24 детали и выполнил все задание. Сколько деталей токарь обточил за день?

Если стороны образую арифметическую прогрессию, эти три стороны можно записать так:
A = a
B = a + b
C = a + 2b
Раз треугольник прямоугольный, то для сторон должна выполняться теорема Пифагора:
(a+2b)^2 = (a+b)^2 + a^2
(раскроем скобки и перегруппируем слагаемые)
(a-b)^2 = 4 b^2
Получаем два варианта:

1) a - b = 2 b
a = 3 b

Тогда стороны:
A = 3b
B = 4b
C = 5b
(b>0)

2) a - b = - 2 b
a = - b

Тогда стороны:
A = -b
B = 0
C = b
Но длины сторон больше нуля, поэтому это решение  уравнения не реализуется в треугольнике.

ответ: Стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию при a = 3b. (Стороны 3b, 4b, 5b)

Для начала воспользуемся тем, что 10 = 2 * 5:


Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:


Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа на 8.

дает остаток 1 при делении на 8, тогда  тоже дает остаток 1 при делении на 8, а  дает остаток 5 при делении на 8, откуда  при некотором натуральном n.

Значит,  делится на 4 и не делится на 8, а  делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение , есть