***
сделаем дополнительное построение
треугольник АВС
с точки О проведем отрезок ОР _ равной АО
с точки В - отрезок ВР
с точки С - отрезок СР
треугольник А₁В₁С₁
точно так же и
с точки О₁ проведем отрезок О₁Р₁ _ равной А₁О₁ ( равной и АО, и ОР )
с точки В₁ - отрезок В₁Р₁ _ равной ВР
с точки С₁ - отрезок С₁Р₁ _ равной СР
и так,
∠АОС = ∠ВОР _ как вертикальные углы
поскольку АО медиана
⇔
BО = ОС
АО = ОР
получается что
ΔADC = ΔDBK по первому признаку равенства треугольников (равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними)
∠ОAC = ∠ОРB
АС = BK
⇔
ΔA₁О₁C₁ = ΔО₁B₁Р₁
∠О₁A₁C₁ = ∠О₁Р₁B₁
А₁С₁ = B₁Р₁
В треугольниках AВР и A₁B₁Р₁:
AР = A₁Р₁ поскольку AР = 2AО = A1Р1
∠ВAР = ∠B₁A₁K₁ _ по условию
∠BРA = ∠B₁K₁A₁ _ поскольку ∠BРA = ∠РAC = ∠Р₁A₁C₁ = ∠B₁Р₁A₁
∠KAC = ∠K1A1C1 _по условию
получается что треугольники ABР и ΔA₁B₁Р₁ по второму признаку равенства треугольников
(равенства треугольников по стороне и две прилежащих к ней угла)
значит:
АВ = А₁В₁
BР = B₁Р₁ = А₁С₁ = АС
Так как в треугольниках АВС и А₁В₁С₁
ВА = В₁А₁
АС = А₁С₁
∠ВAС = ∠В₁A₁С₁
⇔
ΔАВС = ΔA₁В₁С₁
по первому признаку равенства треугольников:
ответ: равенства треугольников _ доказано.
А) cos²х- cos2х=1/2, используя основное тригонометрическое тождество и косинус двойного угла получаем
(1-sin²х) - (1- 2sin²х )=1/2,
sin²х=1/2,
sinх=√1/2, х= π/4+2πn , х= 5π/4+2πn
и
sinх=-√1/2 ,х=- π/4+2πn , х= -5π/4+2πn.
Объединим корни
х= π/4+2πn и х= -5π/4+2πn ⇒
х= π/4+πn, n∈Z.
Объединим корни
х= -π/4+2πn и х= 5π/4+2πn ⇒
х=-π/4+πn, n∈Z.
ответ . а) = π/4+πn, n∈Z, х= -π/4+πn, n∈Z.
Б) Лучше делать отбор корней на единичной окружности. Здесь представлен другой отбора для [3π/2;3π].
1) 3π/2 ≤ π/4+πn≤3π|(- π/4),
5π/4 ≤ πn≤11π/4 |:π ,
5/4 ≤ n≤11/4 , n∈Z ⇒
n=2, х1= π/4+π*2= 9π/4.
2) 3π/2 ≤ -π/4+πn≤3π|(+ π/4),
7π/4 ≤ πn≤13π/4 |:π ,
7/4 ≤ n≤13/4 , n∈Z ⇒ n=2,3
х2= -π/4+π*2=7π/4, х2== -π/4+π*3=11π/4.
ответ б) 7π/4, 9π/4, 11π/4.
