На новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники. всего было не более 40 человек от каждой школы. в школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. всего улыбок было 117. сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на новогодний вечер?

Допустим, было х мальчиков и у девочек,
x + y <= 40
Допустим, некий мальчик Вовочка знает z девочек и не знает y-z девочек.
Тогда он получил от девочек z улыбок, а y-z раз улыбнулся сам.
Таким образом, он обменялся улыбками со всеми у девочками.
И также каждый из х мальчиков. Значит, всего улыбок было ровно xy.
xy = 117 = 1*117 = 3*39 = 9*13
Сумма меньше 40 только у множителей 9 и 13.
ответ: или 9 мальчиков и 13 девочек, или наоборот, 9 девочек и 13 мальчиков.