Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом r, наибольшую площадь имеет квадрат.

Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:

Находим экстремум:

Так, как это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один
Находим (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):

Что и требовалось доказать.