При каком значении параметра m уравнение имеет два различных корня? x^2-2(m-12)x+2+m^2=0

Выделим полный квадрат:
x^2 - 2(m - 12)x + 2 + m^2 = (x^2 - 2(m - 12)x + (m^2 - 24m + 144)) + 24m - 142 = (x - m + 12)^2 + (24m - 142)

Исходное уравнение равносильно следующему:
(x - m + 12)^2 = 142 - 24m

Это уравнение имеет два различных корня, если 142 - 24m > 0
24m < 142
12m < 71
m < 71/12