14. докажите, что если через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a и b,проведена прямая, параллельная основаниям, то отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами трапеции, равен 2ab/(a+b) 15. докажите, что если трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным a и b ,на две равновеликие трапеции, то отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен корень из (a^2+b^2)\2

Пусть в трапеции АВСД основания ВС=а, АД=в, АС и ВД - диагонали, О - точка их пересечения, ВН - высота трапеции, М - точка пересечения высоты ВН и искомого отрезка КЛ. 
По условию КЛ параллельна ВС, следовательно ΔАВД подобен ΔКВО, а ΔАВС подобен ΔАКО. Т.к. в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то КО/АД=ВМ/ВН, КО/ВС=МН/ВН.
Отсюда КО/АД+КО/ВС=ВМ/ВН+МН/ВН
КО*(ВС+АД)/АД*ВС=(ВМ+МН)/ВН,
т.к. ВМ+МН=ВН, то
КО*(а+в)/ав=1
КО=ав/(а+в)
Аналогично, из подобия ΔДОЛ и ΔДВС, а также Δ ОСЛ и ΔАСД, находим ОЛ:
ОЛ=ав/(а+в)
КЛ=КО+КЛ=ав/(а+в)+ав/(а+в)=2ав/(а+в)

15. Пусть в трапеции АВСД основания ВС=а, АД=в,  ВН - высота трапеции, М - точка пересечения высоты ВН и искомого отрезка КЛ. 
Пусть площадь трапеции равна S,
ВМ=h1 и МН=h2 – части высоты, х – длина искомого отрезка КЛ.
Тогда S/2 = h1 *(a + x)/2 = h2 *(b + x)/2 и S = (h1 + h2)*(a + b)/2.
Составим систему
h1*(a + x) = h2 *(b + x)
h1*(a + x) = (h1 + h2) * (a + b)/2.
Решая данную систему, получим х = √(1/2(а² + b²).