Существует ли прямоугольник длинны сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах при чем одна из них на 1 см длиннее другой и площадь которого равна 12345 см в квадрате

Пусть х - длина меньшей стороны.
Тогда площадь = х(х+1) = 12345
Равносильно x^2 + x - 12345 = 0
D = 1 + 12345*4 = 49381.
x = (1 + sqrt(D))/2. Число натуральное, когда корень из D - число натуральное. В нашем случае это не так, поэтому прямоугольника, удовлетворяющего условиям, не существует.