Можно в таблице 8х8 закрасить 17 клеток так, чтобы никакие две клетки не оказались рядом (даже по диагонале)?

Нет, нельзя, надо разбить на квадраты 2*2 , их будет 16 и в этих квадратах будет не более закрашенной клетки. значит 16 клеток-максимум

Да можно закрасить 17 клеток