Коля одного дня сказав: «позавчора мені було 10 років, а в наступному році виповниться 13». чи може так бути?

Если сегодня к примеру, 1 января 2000 г. , то позавчера было 30-е декабря 1999г (10 лет) .
сегодня 11 лет.. . 31 декабря 2000 годя исполнится 12 лет.. . а 31 декабря 2001 (в следующем году) исполнится 13 лет

Да, может, если день рождения 31-го декабря. 
+ если это было сказано первого января :)
Т.е. позавчера (30-го) ему было 10. 1-го января ему уже 11. 31-го декабря этого же года ему будет 12. А через год ему 13 :)