Можно ли записать в квадратную таблицу 10×10 клеток первые сто простых чисел так, чтобы суммы чисел в столбцах, в строках и в обеих диагоналях были все одинаковы?

Нет.
Среди первых 100 простых чисел есть только одно четное - 2, все остальные нечетные. Таким образом (при любой записи) получится, что в одной строке (столбце) сумма будет нечетной ( 2 + сумма девяти нечетных чисел), в остальных сумма будет четной (сумма десяти нечетных чисел).