Существует ли такое число, десятичная запись которого состоит из шести 1 и семи 0, являющееся квадратом целого числа?

нет

Пошаговое объяснение:

Сумма цифр такого числа равна 6*1=6. Значит, по признаку делимости на 3 и на 9, такое число делится на 3, но не делится на 9.

Т.к. в разложение на простые множители квадрата натурального числа каждый сомножитель входит в четной степени, то такого числа не существует.