При каких значениях а корни уравнения х²+3ах+а²+1=0 расположены на числовой прямой по разные стороны от числа 1?

Х1,2=(-в +/- √D)/2a
D = b² - 4ac

В нашем случае а=1, b=3а, с=a²+1

D = (3а)² - 4(a²+1) = 9a² - 4a² - 4 = 5a²-4

х1 = [-3а+√(5a²-4)]/2
х2 = [-3а-√(5a²-4)]/2

Положим х1>1, а х2<1
1) [-3а+√(5a²-4)]/2>1
-3а+√(5a²-4)>2
√(5a²-4) > 2+3а
Возведем в квадрат обе части неравенства:
5a²-4 > (2+3а)²
5а²-4 > 4+12а+9а²
9а²-5а²+12а+8 < 0
4а²+12а+8 < 0
Разделим обе части на 4:
а²+3а+2 < 0
а1=[-3+√(3•3-4•2)]/2 = [-3+√(9-8)]/2=(-3+1)/2=-1
а2=[-3-√(3•3-4•2)]/2 = [-3-√(9-8)]/2=(-3-1)/2=-2

(а+1)(а+2)<0
а+1<0, а<-1
а+2>0, а>-2

Или
а+1>0, а>-1
а+2<0, а<-2
следовательно, -2>а>-1

2) [-3а-√(5a²-4)]/2>1
-3а-√(5a²-4)>2
√(5a²-4) < -(2+3а)
Возведем в квадрат обе части неравенства:
5a²-4 < (2+3а)²
5а²-4 < 4+12а+9а²
9а²-5а²+12а+8 > 0
4а²+12а+8 > 0
Разделим обе части на 4:
а²+3а+2 > 0
а1=[-3+√(3•3-4•2)]/2 = [-3+√(9-8)]/2=(-3+1)/2=-1
а2=[-3-√(3•3-4•2)]/2 = [-3-√(9-8)]/2=(-3-1)/2=-2

(а+1)(а+2)>0
а+1>0, а>-1
а+2>0, а>-2
Следовательно, а>-1
Или
а+1<0, а<-1
а+2<0, а<-2
Следовательно, а<-2