Есть набор гирек с массами от 1 до 100 грамм. докажите, что среди любых 16 гирек из этого набора можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и та же.

Пусть нельзя выбрать 2 пары из 16, чтобы их суммы были равны.
Пусть Ax - масса какой-то иксной гирьки,тогда для любых k,l,m,n (от 1 до 16, но при этом все вместе не равны друг другу): Ak+Al<>Am+An, а это значит, что и Ak-Am<>An-Al, то есть любые разности двух гирек из 16 не могут быть меж собой равны. Причем так как гирек от 1 до 100, то эта разность не может превышать 99.
Подсчитаем сколько всего разностей вида Ak-Al может быть:
мы выбираем 2 гирьки из 16, то есть всего 16!/(2!(16-2)!)=120 вариантов. Теперь если разность минимальна, то есть 1, 2 , 3, то минимум мы получим разность равную 120, но разность не может превышать 99, значит мы пришли к противоречию, а значит  можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и таже